Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝3，點P是邊BC上的動點（點P不與點B，點C重合），過點P作直線PQ∥BD，交CD邊于Q點，再把△PQC沿著動直線PQ對折，點C的對應點是R點，設CP的長度為x，△PQR與矩形ABCD重疊部分的面積為y．

（1）求∠CQP的度數；

（2）當x取何值時，點R落在矩形ABCD的AB邊上；

（3）①求y與x之間的函數關系式；

②當x取何值時，重疊部分的面積等于矩形面積的．

Answer 1

【答案】（1）∠CQP＝30°；（2）x＝2；（3）①，②

【解析】

（1）由于PQ與BD平行，∠CQP＝∠CDB，因此只需求出∠CDB的度數即可．可在直角三角形ABD中，根據AB，AD的長求出∠ABD的度數，由∠CQP＝∠CDB＝∠ABD即可得出∠CQP的度數；

（2）當R在AB上時，三角形PBR為直角三角形，且∠BPR＝60°（可由（1）的結論得出），根據折疊的性質PR＝CP＝x，然后用x表示出BP的長，在直角三角形可根據∠RPB的余弦值得出關于x的方程即可求出x的值；

（3）①要分兩種情況進行討論：

一、當R在AB或矩形ABCD的內部時，重合部分是三角形PQR，那么重合部分的面積可通過求三角形CQP的面積來得出，在直角三角形CQP中，已知了∠CQP的度數，可用CP即x的值表示出CQ的長，然后根據三角形的面積計算公式可得出y，x的函數關系式；

二、當R在矩形ABCD的外部時，重合部分是個四邊形的面積，如果設RQ，RP與AB的交點分別為E、F，那么重合部分就是四邊形EFPQ，它的面積＝△CQR的面積﹣△REF的面積．△CQR的面積在一已經得出，關鍵是求△REF的面積，首先要求出的是兩條直角邊RE，RF的表達式，可在直角三角形PBF中用一的方法求PF的長，即可通過RP﹣PF得出RF的長；在直角三角形REF中，∠RFE＝∠PFB＝30°，可用其正切值表示出RE的長，然后可通過三角形的面積計算公式得出三角形REF的面積．進而得出S與x的函數關系式；

②可將矩形的面積代入①的函數式中，求出x的值，然后根據自變量的取值范圍來判定求出的x的值是否符合題意．

解：（1）如圖，∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，AD＝BC．

又AB＝9，AD＝3，∠C＝90°，

∴CD＝9，BC＝3．

∴tan∠CDB＝，

∴∠CDB＝30°．

∵PQ∥BD，

∴∠CQP＝∠CDB＝30°；

（2）如圖1，由軸對稱的性質可知，△RPQ≌△CPQ，

∴∠RPQ＝∠CPQ，RP＝CP．

由（1）知∠CQP＝30°，

∴∠RPQ＝∠CPQ＝60°，

∴∠RPB＝60°，

∴RP＝2BP．

∵CP＝x，

∴PR＝x，PB＝3﹣x．

在△RPB中，根據題意得：2（3﹣x）＝x，

解這個方程得：x＝2；

（3）①當點R在矩形ABCD的內部或AB邊上時，

，，

∵△RPQ≌△CPQ，

∴當時，

當R在矩形ABCD的外部時（如圖2），，

在Rt△PFB中，

∵∠RPB＝60°，

∴PF＝2BP＝2（﹣x），

又∵RP＝CP＝x，

∴RF＝RP﹣PF＝3x﹣6，

在Rt△ERF中，

∵∠EFR＝∠PFB＝30°，

∴ER＝x﹣6．

∴S△ERF＝ER×FR＝x2﹣18x+18，

∵y＝S△RPQ﹣S△ERF，

∴當時，y＝-x2+18x﹣18．

綜上所述，y與x之間的函數解析式是：．

②矩形面積＝，

當時，函數隨自變量的增大而增大，

所以y的最大值是6，而矩形面積的的值＝，

而，所以，當時，y的值不可能是矩形面積的；

當時，根據題意，得：，

解這個方程，得，

因為，

所以不合題意，舍去．

所以．

綜上所述，當時，△PQR與矩形ABCD重疊部分的面積等于矩形面積的．