Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝a（x+2）（x﹣4）（a為常數(shù)，且a＞0）與x軸從左至右依次交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過點(diǎn)B的直線y＝﹣x+拋物線的另一交點(diǎn)為D，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為﹣5．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）該二次函數(shù)圖象上有一點(diǎn)P（x，y）使得S△BCD＝S△ABP，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）設(shè)F為線段BD上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接AF，求2AF+DF的最小值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x﹣；（2）(，)或(，)；（3）

【解析】

（1）求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出a的值即可．

（2）如圖1中，設(shè)直線BD交y軸于J，則J（0，）．連接CD，BC．由S△PAB＝10，推出×6×|yP|＝10，推出yP＝，再利用待定系數(shù)法構(gòu)建方程求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可．

（3）如圖2中，過點(diǎn)D作DM平行于x軸，首先證明∠BDM＝∠DBA＝30°，過F作FJ⊥DM于J，則有sin30°＝，推出HF＝，推出2AF+DF＝2（AF+）＝2（AF+HF），當(dāng)A、F、H三點(diǎn)共線時(shí)，即AH⊥DM時(shí)，2AF+DF＝2（AF+HF）取最小值．

解：（1）拋物線y＝a（x+2）（x﹣4），令y＝0，解得x＝﹣2或x＝4，

∴A（﹣2，0），B（4，0）．

∵直線y＝，

當(dāng)x＝﹣5時(shí)，y＝

∴D（﹣5，），

∵點(diǎn)D（﹣5，3）在拋物線y＝a（x+2）（x﹣4）上，

∴a（﹣5+2）（﹣5﹣4）＝，

∴a＝．

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為：y＝．

（2）如圖1中，設(shè)直線BD交y軸于J，則J（0，）．連接CD，BC．

∵S△BDC＝

∴S△PAB＝，

∴×6×|yP|＝

yP＝，

當(dāng)y＝時(shí)， ，

解得x＝，

∴P或，

當(dāng)

方程無解，

∴滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為或．

（3）如圖2中，過點(diǎn)D作DM平行于x軸，作FH⊥DM于H，

∵D，B（4，0），

∴tan∠DBA＝，

∴∠DBA＝30°

∴∠BDM＝∠DBA＝30°，過F作FJ⊥DM于J，

則有sin30°＝，

∴，

∴2AF+DF＝2（AF+）＝2（AF+HF），當(dāng)A、F、H三點(diǎn)共線時(shí)，

即AH⊥DM時(shí)，2AF+DF＝2（AF+HF）取最小值．