Question

【題目】如圖，直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，以邊AB為直徑作圓O，交AC于點E，點D是BC的中點，連接DE

（1）判斷DE與圓O的關系，說明理由；

（2）若AB＝4，DE＝，點G是圓上出E、B外的任意一點，則∠EGB＝______°（直接寫出答案）．

Answer 1

【答案】（1）相切，證明見解析；（2）120°或60°

【解析】

(1)連接OE,BE，由題意可知OD是三角形ABC的中位線，ED是直角三角形CEB斜邊上的中線，從而易得∠EDO=∠BDO，ED=BD，又OD=OD，從而證得EDOBDO，

則∠DEO=∠DBO=90°，即可得到DE與圓O的位置關系；

(2)在直角三角形BDO中，由OB=AB＝2，DB=DE＝，易求出∠ODB=30°，所以∠BOE=120°，在分情況討論G在弧BE或是弧EAB上兩種情況求∠EGB的度數．

(1)DE是圓O的切線.說明如下：

連接OE,BE

∵AB是圓O的直徑，

∴∠AEB=90°

∵D是BC的中點，

∴DE=CD=DB

∴∠CED=∠C

又∵AO=OB,

∴OD為三角形ABC的中位線

∴ODAC

∴∠BDO=∠C，∠CED=∠EDO

∴∠BDO=∠EDO

又OD=OD，

∴EDOBDO

∴∠DEO=∠DBO=90°

∴DE是圓O的切線．

(2) 在直角三角形BDO中，由OB=AB＝2，DB=DE＝,

∴tan∠ODB==，

∴∠ODB=30°．

∴∠BOD=60°．

由（1）得EDOBDO，∴∠EOD=∠BOD=60°，即∠BOE=120°．

當G在弧EAB上時，∠EGB =∠BOE=60°．

當G在弧BE上時，∠EGB=180°-60°=120°．

故∠EGB＝60°或120°．