Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜邊AB上的中線CD為直徑作⊙O，分別與AC，BC交于點E，F． 過點F作⊙O的切線交AB于點M．

(1)求證：MF⊥AB；

(2)若⊙O的直徑是6，填空：

①連接OF，OM，當FM= 時，四邊形OMBF是平行四邊形；

②連接DE，DF，當AC= 時，四邊形CEDF是正方形．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①（2）3；②．

【解析】

(1)連接OF，則OF=OC，得出∠OCF=∠OFC，由CD是斜邊AB上的中線得出CD=BD=AB，則∠OCF=∠B，推出∠ONF=∠B，得出OF∥AB，又由OF⊥FM，得出AB⊥FM，即可得出結論；

(2)①由四邊形OMBF是平行四邊形，可以得到MB=OF=3，且DB=DC=6，進一步得到DM=DB-MB=6-3=3，此時M是DB中點，進而得到FM為△BCD的中位線，得到FM∥CD，由FM⊥AB，得到此時CD⊥AB，此時四邊形FODM為矩形，FM=OD=3即可.

②連接ED，當四邊形CEDF為正方形時可以得出∠ECD=∠CDE=45°，進一步求出CE的長，由DA=DC，可以得到△DAC為等腰三角形，由“三線合一”得出AC=2CE即可求解.

（1）連接OF，

∵CD是直角△ABC斜邊的中線，

∴CD=BD，

∴∠DCB=∠B，

∵OC=OF，

∴∠OCF=∠OFC，

∴∠OFC=∠B，

∴OF∥BD，

∵FM是圓O的切線，

∴∠OFM=90°，

∴∠FMB=90°，即FM⊥AB；

(2)①如下圖所示，連接OF,OM：

∵四邊形OMBF為平行四邊形

∴OF=MB=3

又CD=BD=6

∴DM=BD-MB=6-3=3，即M為DB的中點

∴FM為△CDB的中位線

∴FM∥CD

又FM⊥DB

∴CD⊥DB

且∠OFM=90°=∠FOD

∴四邊形FODM為矩形

∴FM=OD=3

故答案為：3.

②連接DE和DF，如下圖所示：

∵CD為圓O的直徑，∴∠CED=90°，∠CFD=90°

且∠ACB=90°

∴四邊形CEDF為矩形

當四邊形CEDF為正方形時，有∠CED=∠CDE=45°

∴△CED為等腰直角三角形，其三邊之比為：，且CD=6

∴CE=CD=

又DC=DA

∴△ACD為等腰三角形

由等腰三角形的“三線合一”性質知：

AC=2CE=

故答案為：