Question

【題目】如圖，拋物線經過A（﹣1，0），B（3，0），C（0， ）三點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸上有一點P，使PA+PC的值最小，求點P的坐標；

（3）點M為x軸上一動點，在拋物線上是否存在一點N，使以A，C，M，N四點構成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為： ；

（2）P（1，1）；

（3）存在，點N的坐標為（2， ），（， ），（， ）．

【解析】【試題分析】

（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），因為A（﹣1，0），B（5，0），C（0， ）三點在拋物線上，則構造三元方程組，得，解得．即拋物線的解析式為： ；

（2）如圖1，根據拋物線的解析式為，得其對稱軸為直線： ，連接BC，設直線BC的解析式為，

根據B、C兩點，得方程組解得

即直線BC的解析式為，當x=1時， .∴P（1，1）；

（3）存在．A（﹣1，0），C（0， ）,M(m,0), ,根據相對的兩個點的中點坐標重合.

若A、C相對，則 ，解得n=2, ∴N1（2， ）；

若A、M相對，則，解得n= ∴N2（， ），N3（， ）．；

若A、N相對，則 ，解得n=2,（舍去）；

綜上所述，點N的坐標為（2， ），（， ），（， ）．

【試題解析】

（1）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），

∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0， ）三點在拋物線上，

∴，解得．

∴拋物線的解析式為： ；

（2）∵拋物線的解析式為，

∴其對稱軸為直線： .

連接BC，設直線BC的解析式為，

∵B（3，0），C（0， ），∴解得

∴直線BC的解析式為

當x=1時， .∴P（1，1）；

（3）存在．

存在．A（﹣1，0），C（0， ）,M(m,0),

若A、C相對，則 ，解得n=2, ∴N1（2， ）；

若A、M相對，則，解得n= ∴N2（， ），N3（， ）．；

若A、N相對，則 ，解得n=2,（舍去）；

綜上所述，點N的坐標為（2， ），（， ），（， ）．