Question

【題目】 在正方形ABCD中．

（1）如圖1，點E、F分別在BC、CD上，AE、BF相交于點O，∠AOB=90°，試判斷AE與BF的數量關系，并說明理由；

（2）如圖2，點E、F、G、H分別在邊BC、CD、DA、AB上，EG、FH相交于點O，∠GOH=90°，且EG=7，求FH的長；

（3）如圖3，點E、F分別在BC、CD上，AE、BF相交于點O，∠AOB=90°，若AB=5，圖中陰影部分的面積與正方形的面積之比為4：5，求△ABO的周長．

Answer 1

【答案】（1）AE=BF，理由見解析；（2）FH=7；（3）△AOB的周長為5+

【解析】

（1）由四邊形ABCD是正方形可得AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，根據余角的性質可得∠BAO=∠CBF，然后根據ASA可證△ABE≌△BCF，進而可得結論；

（2）如圖4，作輔助線，構建平行四邊形AMEG和平行四邊形BNFH，得AM=GE，BN=FH，由（1）題的結論知△ABM≌△BCN，進而可得FH的長；

（3）根據正方形的面積和陰影部分的面積可得：空白部分的面積為25－20=5，易得△AOB的面積與四邊形OECF的面積相等，設AO=a，BO=b，則易得ab=5，根據勾股定理得：a2+b2=52，然后根據完全平方公式即可求出a+b，進一步即得結果．

解：（1）AE=BF，理由是：如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，

∵∠AOB=90°，∴∠BAO+∠ABO=90°，

又∵∠CBF+∠ABO=90°，∴∠BAO=∠CBF，

∴△ABE≌△BCF（ASA）．

∴AE=BF；

（2）在圖2中，過點A作AM∥GE交BC于M，過點B作BN∥FH交CD于N，AM與BN交于點O′，如圖4，則四邊形AMEG和四邊形BNFH均為平行四邊形，

∴AM=GE，BN=FH，

∵∠GOH=90°，AM∥GE，BN∥FH，∴∠AO′B=90°，

由（1）得，△ABM≌△BCN，∴AM=BN，

∴FH=GE=7；

（3）如圖3，∵陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為4：5，

∴陰影部分的面積為×25=20，∴空白部分的面積為25－20=5，

由（1）得，△ABE≌△BCF，

∴△AOB的面積與四邊形OECF的面積相等，均為×5=，

設AO=a，BO=b，則ab=，即ab=5，

在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∴a2+b2=52，

∴a2+2ab+b2=25+10=35，即，

∴a+b=，即AO+BO=，

∴△AOB的周長為5+．