Question

【題目】閱讀資料：小明是一個愛動腦筋的好學生，他在學習了有關圓的切線性質后，意猶未盡，又查閱到了與圓的切線相關的一個問題：

如圖1，已知PC是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，延長BA交切線PC與P，連接AC、BC、OC．

因為PC是⊙O的切線，AB是⊙O的直徑，所以∠OCP=∠ACB=90°，所以∠1=∠2．
又因為∠B=∠1，所以∠B=∠2．

在△PAC與△PCB中，又因為：∠P=∠P，所以△PAC∽△PCB，所以，即PC2=PAPB．

問題拓展：

（Ⅰ）如果PB不經過⊙O的圓心O（如圖2）等式PC2=PAPB，還成立嗎？請證明你的結論；

綜合應用：

（Ⅱ）如圖3，⊙O是△ABC的外接圓，PC是⊙O的切線，C是切點，BA的延長線交PC于點P；

（1）當AB=PA，且PC=12時，求PA的值；

（2）D是BC的中點，PD交AC于點E．求證：．

　

Answer 1

【答案】（Ⅰ）成立，證明見解析；（Ⅱ）（1）6，（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）連接PO并延長交⊙O于點D、E，連接BD、AE，可得△PBD∽△PEA，然后由相似三角形的對應邊成比例，可得PAPB=PDPE，再根據PC2=PDPE，即可證得結論。

（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）得，PC2=PAPB，即可求得PC2=PAPB=PA(PA+AB)=2PA2，繼而即可求得答案；（2）過點A作AF//BC，交PD于點F，由平行線分線段成比例定理，即可得證.

解：（Ⅰ）當PB不經過⊙O的圓心O時，等式PC2=PAPB仍然成立．

如圖，連接PO并延長交⊙O于點D，E，連接BD、AE，

圖1

∴∠B=∠E，∠BPD=∠APE，

∴△PBD∽△PEA，

∴ ，

即PAPB=PDPE，

由圖1知，PC2=PDPE，

∴PC2=PAPB．

（Ⅱ）由（1）得，PC2=PAPB，PC=12，AB=PA，

∴PC2=PAPB=PA（PA+AB）=2PA2，

∴2PA2=144，

∴PA=±6（負值無意義，舍去）．

∴PA=6．

（2）過點A作AF∥BC，交PD于點F，

圖2

∴，．

∵D為BC的中點，

∴BD=CD，

∴，

∴．

∵PC2=PAPB，

∴，

即．