Question

【題目】如圖，△ABC是等邊三角形，CE是∠ACB的外角平分線，點(diǎn)D在AC上，連接BD并延長交CE于點(diǎn)E.

(1)求證：△ABD∽△CED；

(2)若AB＝6，AD＝2CD，求BE的長．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；（2）3.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠BAC＝∠ACB＝60°，∠ACF＝120°，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠ACE＝60°，再結(jié)合對頂角∠ADB＝∠CDE，即可證得結(jié)果；

（2）作BM⊥AC于點(diǎn)M，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AM＝CM＝3，BM＝AB·sin60°＝，由AD＝2CD可得CD＝2，AD＝4，MD＝1，在Rt△BDM中，根據(jù)勾股定理可求得BD的長，再根據(jù)△ABD∽△CED結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可求的ED的長，即可求得結(jié)果.

（1）∵△ABC是等邊三角形

∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∠ACF＝120°

∵CE是外角平分線

∴∠ACE＝60°

∴∠BAC＝∠ACE

又∵∠ADB＝∠CDE

∴△ABD∽△CED；

（2）作BM⊥AC于點(diǎn)M，AC＝AB＝6

∴AM＝CM＝3，BM＝AB·sin60°＝

∵AD＝2CD，

∴CD＝2，AD＝4，MD＝1

在Rt△BDM中，BD＝＝

由（1）△ABD∽△CED得， ， ，

∴ED＝，

∴BE＝BD＋ED＝.