Question

請閱讀下列材料：
問題：如圖1，在正方形ABCD和正方形CEFG中，點B、C、E在同一條直線上，M是線段AF的中點，連接DM，MG．探究線段DM與MG數(shù)量與位置有何關(guān)系．

小聰同學(xué)的思路是：延長DM交GF于H，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過推理使問題得到解決．
請你參考小聰同學(xué)的思路，探究并解決下列問題：
（1）直接寫出上面問題中線段DM與MG數(shù)量與位置有何關(guān)系______；
（2）將圖1中的正方形CEFG繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，使正方形CEFG對角線CF恰好與正方形ABCD的邊BC在同一條直線上，原問題中的其他條件不變（如圖2）．你在（1）中得到的兩個結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明．
（3）如圖3，將正方形CEFG繞點C順時針旋轉(zhuǎn)任意角度，原問題中的其他條件不變，寫出你的猜想．

Answer 1

（1）如圖1，在正方形ABCD和正方形CEFG中，AD∥BC∥GF，
∴∠DAM=∠HFM，
∵M(jìn)是線段AF的中點，
∴AM=FM，
在△ADM和△FHM中，

∠DAM=∠HFM AM=FM ∠AMD=∠FMH

，
∴△ADM≌△FHM（ASA），
∴DM=HM，AD=FH，
∵GD=CG-CD，GH=GF-FH，AD=CD，CG=GF，
∴GD=GH，
∴△DGH是等腰直角三角形，
∴DM=MG且DM⊥MG；

（2）如圖2，延長DM交CF于H，連接GD，GH，
同（1）可得DM=HM，AD=FH，
∵CF恰好與正方形ABCD的邊BC在同一條直線上，
∴∠DCG=90°-45°=45°，
∠HFG=45°，
∴∠DCG=∠HFG，
在△CDG和△FHG中，

CD=FH ∠DCG=∠HFG CG=FG

，
∴△CDG≌△FHG（SAS），
∴GD=GH，∠CGD=∠FGH，
∴∠DGH=∠CGD+∠CGH=∠FGH+∠CGH=∠CGF=90°，
∴△DGH是等腰直角三角形，
∴DM=MG且DM⊥MG；

（3）如圖3，過點F作FH∥AD交DM的延長線于H，交DC的延長線于N，
同（1）可得DM=HM，AD=FH，
易得∠NCE=∠EFN，
∵∠DCG+∠NCE=180°-90°=90°，
∠HFG+∠EFN=90°，
∴∠DCG=∠HFG，
在△CDG和△FHG中，

CD=FH ∠DCG=∠HFG CG=FG

，
∴△CDG≌△FHG（SAS），
∴GD=GH，∠CGD=∠FGH，
∴∠DGH=∠CGD+∠CGH=∠FGH+∠CGH=∠CGF=90°，
∴△DGH是等腰直角三角形，
∴DM=MG且DM⊥MG．