Question

在平面直角坐標系中，已知點P₀的坐標為（1，0），將點P₀繞著原點按逆時針方向旋轉30°得到點P₁，延長OP₁，到點P₂，使OP₂=2OP₁；再將點P₂繞著原點按逆時針方向旋轉30°得到點P₃，延長OP₃，到P₄，使OP₄=2OP₃；如此繼續下去，求：
（1）點P₂的坐標；
（2）點P₂₀₁₀的坐標．

Answer 1

（1）設P₂的坐標為（x，y），作P₂M⊥x軸，垂足為M．
∵OP₂=2OP₁=2OP_O=2×1=2．∠P₂OM=30°，
∴y=MP₂=2sin30°=1，x=OM=2cos30°=

3

，
∴P₂的坐標為（

3

，1）；

（2）∵OP₂=2¹=2；OP₄=2²=4，
∴OP₂₀₁₀=2¹⁰⁰⁵，
∵每24個點將轉一圈回到x軸，
∴2010÷24=24×83+18．
∴點P在y軸負半軸上．
∴P坐標為（0，-2¹⁰⁰⁵）．
∴P₂₀₁₀的坐標是（0，-2¹⁰⁰⁵）．