Question

【題目】某廠家生產(chǎn)一種產(chǎn)品,月初需要一次性投資25 000元,每生產(chǎn)一件產(chǎn)品需增加投入100元.設(shè)x(件)是月生產(chǎn)量,y(元)是銷售完x件產(chǎn)品所得的總銷售額,y與x的關(guān)系如圖中的圖象所示,圖象中從點(diǎn)O到點(diǎn)A的部分是拋物線的一部分,且點(diǎn)A是拋物線的頂點(diǎn),點(diǎn)A后面的部分與x軸平行.

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;

(2)設(shè)月純利潤為z,求z關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;

(3)當(dāng)月產(chǎn)量為多少件時,廠家所獲利潤最大?最大利潤為多少元?

Answer 1

【答案】（1）y=（2）z=;(3) 當(dāng)月產(chǎn)量為300臺時,利潤最大,最大利潤為20 000元

【解析】

（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x-400)2+80000，把O（0，0）代入可求出a的值，即可得時y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，由點(diǎn)A后面的部分與x軸平行可得x>400時y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)月純利潤=總銷售額-月初投資-產(chǎn)品成本即可得出答案；（3）分別計算x>400時和時利潤的最大值即可.

（1）當(dāng)時，設(shè)函數(shù)解析式為y=a(x-400)2+80000，

∵圖像經(jīng)過O（0，0），

∴a(x-400)2+80000=0，

解得：a=-，

∴時y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=-(x-400)2+80000=-x2+400x.

∵當(dāng)x>400時，點(diǎn)A后面的部分與x軸平行，

∴x>400時y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y=80000.

∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：y=.

（2）∵月純利潤=總銷售額-月初投資-產(chǎn)品成本，

∴z=y-25000-100x，

當(dāng)0≤x≤400時，z=-x2+400x-25000-100x=-x2+300x-25000,

當(dāng)x>400時，z=80000-25000-100x=-100x+55000，

∴z關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為z=

(3)當(dāng)x>400時,z<-100×400+55000=15000(元)；

當(dāng)0≤x≤400時,z=-x2+300x-25000=-(x-300)2+20000.

所以，當(dāng)x=300時，z最大=20000(元).

答:當(dāng)月產(chǎn)量為300臺時,利潤最大,最大利潤為20000元.