Question

【題目】教材呈現：如圖是華師版八年級上冊數學教材第96頁的部分內容．

請根據教材中的分析，結合圖①，寫出“角平分線的性質定理”完整的證明過程．

定理應用：

如圖②，在四邊形ABCD中，∠B＝∠C，點E在邊BC上，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC．

（1）求證：BE＝CE．

（2）若四邊形ABCD的周長為24，BE＝2，面積為30，則△ABE的邊AB的高的長為_______．

Answer 1

【答案】教材呈現：見解析；定理應用：（1）見解析；（2）3

【解析】

教材呈現：

利用AAS可證明△POD≌△POE（AAS），即可得出PD＝PE；

定理應用：

（1）過E作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥CD于H，由角平分線的性質定理可得EF＝EG＝EH，利用AAS可證明△BEF≌△CEH，得出BE＝EC；

（2）利用HL可證明Rt△AEF≌Rt△AEG，得出AF＝AG，同理DG＝DH，由（1）得出△BEF≌△CEH，得出BF＝CH，設BF＝CH＝x，AF＝AG＝y，DG＝DH＝z，由四邊形ABCD的周長得出x+y+z＝10，由四邊形ABCD的面積得出（x+y+z）EF＝30，求出EF＝3即可．

教材呈現：角平分線的性質定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.

已知：OC是∠AOB的平分線，點P是OC上的任意一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是點D和E.

求證：PD＝PE.

證明：∵OC是∠AOB的平分線，

∴∠POD＝∠POE，

∵PD⊥OA，PE⊥OB，

∴∠PDO＝∠PEO＝90°，

在△POD和△POE中，，

∴△POD≌△POE（AAS），

∴PD＝PE.

定理應用：

（1）過E作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥CD于H，

∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，

∴EF＝EG＝EH，

在△BEF與△CEH中，，

∴△BEF≌△CEH（AAS），

∴BE＝CE.

（2）解：∵EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥CD于H，

∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，

∴EF＝EG＝EH，

在Rt△AEF和Rt△AEG中，，

∴Rt△AEF≌Rt△AEG（HL），

∴AF＝AG，

同理：DG＝DH，

由（1）得：△BEF≌△CEH，

∴BF＝CH，

設BF＝CH＝x，AF＝AG＝y，DG＝DH＝z，

∵四邊形ABCD的周長為24，CE＝BE＝2，

∴x+y+y+z+z+x+2+2＝24，

∴x+y+z＝10，

∵四邊形ABCD的面積為30，

∴（x+y）EF+（y+z）EG+（z+x）ED＝30，

span>整理得：（x+y+z）EF＝30，即10×EF＝30，

∴EF＝3，

即△ABE的邊AB的高的長為3.

故答案為：3