Question

【題目】若拋物線L：y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，且abc≠0）與直線l都經過y軸上的同一點，且拋物線L的頂點在直線l上，則稱此拋物線L與直線l具有“一帶一路”關系，并且將直線l叫做拋物線L的“路線”，拋物線L叫做直線l的“帶線”．

（1）若“路線”l的表達式為y=﹣x+2，它的“帶線”L的頂點在反比例函數y=的圖象上，求“帶線”L的表達式；

（2）如果拋物線y=mx2﹣2mx+m﹣1與直線y=nx+1具有“一帶一路”關系，求m，n的值；

（3）設（2）中的“帶線”L與它的“路線”l在y軸上的交點為A．已知點P為“帶線”L上的點，當以點P為圓心的圓與“路線”l相切于點A時，求出點P的坐標

Answer 1

【答案】（1） “帶線”L的解析式為y=x2﹣2x+2；（2）m、n的值分別為2，﹣2；（3）P點坐標為（，）．

【解析】

（1）根據新定義，通過解方程組 得帶線”L的頂點坐標為（1，1），再求出“路線”l與y軸的交點坐標為（0，2），根據題意”帶線”L經過點（0，2），然后利用待定系數法求帶線”L的解析式；

（2）先確定直線y=nx+1與y軸的交點坐標為（0，1），利用新定義把（0，1）代入y=mx2﹣2mx+m﹣1可得m=2，再利用二次函數的性質得到拋物線的頂點坐標為（1，﹣1），

然后把頂點坐標代入y=nx+1中可得到n的值；

（3）由（2）得A（0，1），作PA⊥直線y=﹣2x+1交拋物線與P，如圖，利用兩一次函數垂直一次項系數的關系得到直線PA的解析式為y=x+1，然后通過解方程組 得P點坐標．

（1）解方程組得 ，則帶線”L的頂點坐標為（1，1），

當x=0時，y=﹣x+2=2，則“路線”l與y軸的交點坐標為（0，2），

根據題意”帶線”L經過點（0，2），

設“帶線”L的解析式為y=a（x﹣1）2+1，

把（0，2）代入得a+1=2，解得a=1，

∴“帶線”L的解析式為y=（x﹣1）2+1，即y=x2﹣2x+2；

（2）當x=0時，y=nx+1=1，則直線y=nx+1與y軸的交點坐標為（0，1），

把（0，1）代入y=mx2﹣2mx+m﹣1得m﹣1=1，解得m=2，

∴拋物線解析式為y=2x2﹣4x+1，

∵y=（x﹣1）2﹣1，

∴拋物線的頂點坐標為（1，﹣1），

把（1，﹣1）代入y=nx+1得n+1=﹣1，解得n=﹣2，

即m、n的值分別為2，﹣2；

（3）由（2）得A（0，1），

作PA⊥直線y=﹣2x+1交拋物線與P，如圖，

設直線PA的解析式為y=x+t，

把A（0，1）代入得t=1，

∴直線PA的解析式為y=x+1，

解方程組得或 ，

∴P點坐標為（ ， ）．