Question

【題目】問題：如圖（1），點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF＝45°，試判斷BE、EF、FD之間的數量關系．

（發現證明）小聰把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，從而發現EF＝BE+FD，請你利用圖（1）證明上述結論．

（類比引申）如圖（2），四邊形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，點E、F分別在邊BC、CD上，則當∠EAF與∠BAD滿足　 　關系時，仍有EF＝BE+FD．

（探究應用）如圖（3），在某公園的同一水平面上，四條通道圍成四邊形ABCD．已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分別有景點E、F，∠EAF＝75°且AE⊥AD，DF＝40（﹣1）米，現要在E、F之間修一條筆直道路，求這條道路EF的長（結果取整數，參考數據：≈1.41，≈1.73）

Answer 1

【答案】【發現證明】見解析；【類比引申】∠BAD＝2∠EAF. 【探究應用】這條道路EF的長約為109米．

【解析】

[發現證明]根據旋轉的性質可以得到△ADG≌△ABE，則GF=BE+DF，只要再證明△AFG≌△AFE即可．

[類比引申]延長CB至M，使BM=DF，連接AM，證△ADF≌△ABM，證△FAE≌△MAE，即可得出答案；

[探究應用]利用等邊三角形的判定與性質得到△ABE是等邊三角形，則BE=AB=80米．把△ABE繞點A逆時針旋轉150°至△ADG，只要再證明∠BAD=2∠EAF即可得出EF=BE+FD．

[發現證明]根據旋轉的性質可以得到△ADG≌△ABE，則GF＝BE+DF，只要再證明△AFG≌△AFE即可．

[類比引申]∠BAD＝2∠EAF.如圖（2），延長CB至M，使BM＝DF，連接AM，

證△ADF≌△ABM，證△FAE≌△MAE，即可得出答案；

[探究應用]如圖3，把△ABE繞點A逆時針旋轉150°至△ADG，連接AF．

∵∠BAD＝150°，∠DAE＝90°，

∴∠BAE＝60°．

又∵∠B＝60°，

∴△ABE是等邊三角形，

∴BE＝AB＝80米．

根據旋轉的性質得到：∠ADG＝∠B＝60°，

又∵∠ADF＝120°，

∴∠GDF＝180°，即點G在CD的延長線上．

易得，△ADG≌△ABE，

∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，DG＝BE，

又∵∠EAG＝∠BAD＝150°，∠FAE＝75°

∴∠GAF＝∠FAE，

在△GAF和△FAE中，

AG＝AE，∠GAF＝∠FAE，AF＝AF，

∴△AFG≌△AFE（SAS）．

∴GF＝EF．

又∵DG＝BE，

∴GF＝BE+DF，

∴EF＝BE+DF＝80+40（﹣1）≈109（米），

即這條道路EF的長約為109米．