Question

【題目】

如圖1，拋物線與x軸交于點、點（點在點左側），與軸交于點，點為頂點，已知點、點的坐標分別為、。

（1）求拋物線的解析式；

（2）在直線上方的拋物線上找一點，使的面積最大，求點坐標；

（3）如圖2，連結、，拋物線的對稱軸與x軸交于點。過拋物線上一點作，交直線于點，求當時點的坐標。

Answer 1

【答案】（1）拋物線的表達式為：；

（2）當時，S△BCD取最大值，此時P（，）；

（3）點M坐標為（，）或（）.

【解析】試題分析：（1）把點A（-1，0）和點B（3，0）的坐標代入所給拋物線可得a、b的值，進而得到該拋物線的解析式；(2) ）由題意設P（），過點P作x軸的垂線，交直線BC于點Q，再求得直線CB解析式，可得點Q的坐標，再求得PQ的長，利用S△BCD=得出以S、x為變量的二次函數模型，利用二次函數的性質求得x的值，即可得點P的坐標.（3）先求得點C，點E和頂點的坐標，再分當點M在對稱軸右側時和當點M在對稱軸左側時兩種情況求解即可.

試題解析：

解：（1）將A（-1，0）、B（3，0）兩點代入得：

解得：

∴拋物線的表達式為：

（2）由題意設P（），過點P作x軸的垂線，交直線BC于點Q，

直線CB解析式：， 則Q（）

∴PQ=

S△BCD=

∵，∴當時，S△BCD取最大值，

此時P（）

（3）∵拋物線y=﹣（x﹣3）（x+1）=﹣x2+2x+3與與y軸交于點C，

∴C點坐標為（0，3），頂點（1,4），E（1,0）

∴tan∠BDE=

（Ⅰ）當點M在對稱軸右側時．

i）若點N在射線CD上，

如圖，過點N作y軸的垂線，垂足為G，過點M作GN的垂線，垂足為H，

則△CNG，△MNH均為等腰直角三角形，

∵∠CMN=∠BDE，∴tan∠CMN = tan∠BDE

∴△CNG，△MNH相似比為1:2

設CG=a，則NG=a，NH=NH=2a，

∴M（3a,3+a-2a），即M（3a,3-a），

代入得：

解得：

此時M（）

ii）若點N在射線DC上，

如圖，過點N作x軸的垂線l，分別過點M、C作GN的垂線，垂足為H、G，

則△CNG，△MNH均為等腰直角三角形，

∵∠CMN=∠BDE，∴tan∠CMN = tan∠BDE

∴△CNG，△MNH相似比為1:2

設CG=a，則NG=a，NH=NH=2a，

∴M（a,3-a-2a），即M（a,3-3a），

代入得：

解得：

此時M（）

（Ⅱ）當點M在對稱軸左側時．

∵∠CMN=∠BDE＜45°，

∴∠MCN＞45°，

而拋物線左側任意一點K，都有∠KCN＜45°，

∴點M不存在．

綜上可知，點M坐標為（ ， ）或（）．