Question

如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的邊CD上運(yùn)動(dòng)，AC與BE交于點(diǎn)F．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到DC的中點(diǎn)時(shí)，求△ABF與四邊形ADEF的面積之比；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到CE：ED=2：1時(shí)，求△ABF與四邊形ADEF的面積之比；
（3）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到CE：ED=3：1時(shí)，寫出△ABF與四邊形ADEF的面積之比；當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到CE：ED=n：1（n是正整數(shù)）時(shí)，猜想△ABF與四邊形ADEF的面積之比（只寫結(jié)果，不要求寫出計(jì)算過(guò)程）；
（4）請(qǐng)你利用上述圖形，提出一個(gè)類似的問(wèn)題

Answer 1

分析：連接DF，易得△FEC∽△FBA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，按前兩個(gè)小題不同的要求可得△CEF與△ADF的面積的比．
（1）中為

S△CEF

S△ABF

=

1

4

；
（2）中為

S△CEF

S△ABF

=

4

9

；進(jìn)而可得△ABF與四邊形ADEF的面積之比；
（3）分析可得規(guī)律有當(dāng)CE：ED=n：1時(shí)，

S△ABF

S四邊形ADEF

=

(n+1)2

(n+1)2+n

(=

n2+2n+1

n2+3n+1

)可得答案；
（4）根據(jù)（3）的結(jié)論，提出類似的問(wèn)題即可．

解答：解：（1）如圖1，連接DF．
因?yàn)辄c(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，所以

EC

AB

=

EC

DC

=

1

2

．
據(jù)題意可證△FEC∽△FBA，所以

S△CEF

S△ABF

=

1

4

．（2分）
因?yàn)镾_△DEF=S_△CEF，S_△ABF=S_△ADF，（2分）
所以

S△ABF

S四邊形ADEF

=

S△ABF

S△ADF+S△DEF

=

4

5

．（4分）

（2）如圖2，連接DF．
與（1）同理可知

S△CEF

S△ABF

=

4

9

，S△DEF=

1

2

S△CEF，
S_△ABF=S_△ADF，
所以

S△ABF

S四邊形ADEF

=

S△ABF

S△DEF+S△ADF

=

9

11

．（8分）

（3）當(dāng)CE：ED=3：1時(shí)，

S△ABF

S四邊形ADEF

=

16

19

．（9分）
當(dāng)CE：ED=n：1時(shí)，

S△ABF

S四邊形ADEF

=

(n+1)2

(n+1)2+n

=

n2+2n+1

n2+3n+1

．（12分）

（4）提問(wèn)舉例：
①當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到CE：ED=5：1時(shí)，△ABF與四邊形ADEF的面積之比是多少；
②當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到CE：ED=2：3時(shí)，△ABF與四邊形ADEF的面積之比是多少；
③當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到CE：ED=m：n（m，n是正整數(shù)）時(shí)，△ABF與四邊形ADEF的面積之比是多少．
評(píng)分說(shuō)明：提出類似①的問(wèn)題給1分，類似②的問(wèn)題給3分，類似③的問(wèn)題給4分；附加分最多4分，可計(jì)入總分，但總分不能超過(guò)12分．

點(diǎn)評(píng)：解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)．注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三邊關(guān)系，可有助于提高解題速度和準(zhǔn)確率．