Question

（2013•曲靖）如圖，點E在正方形ABCD的邊AB上，連接DE，過點C作CF⊥DE于F，過點A作AG∥CF交DE于點G．
（1）求證：△DCF≌△ADG．
（2）若點E是AB的中點，設∠DCF=α，求sinα的值．

Answer 1

分析：（1）根據正方形的性質求出AD=DC，∠ADC=90°，根據垂直的定義求出∠CFD=∠CFG=90°，再根據兩直線平行，內錯角相等求出∠AGD=∠CFG=90°，從而得到∠AGD=∠CFD，再根據同角的余角相等求出∠ADG=∠DCF，然后利用“角角邊”證明△DCF和△ADG全等即可；
（2）設正方形ABCD的邊長為2a，表示出AE，再利用勾股定理列式求出DE，然后根據銳角的正弦等于對邊比斜邊求出∠ADG的正弦，即為α的正弦．

解答：（1）證明：在正方形ABCD中，AD=DC，∠ADC=90°，
∵CF⊥DE，
∴∠CFD=∠CFG=90°，
∵AG∥CF，
∴∠AGD=∠CFG=90°，
∴∠AGD=∠CFD，
又∵∠ADG+∠CDE=∠ADC=90°，
∠DCF+∠CDE=90°，
∴∠ADG=∠DCF，
∵在△DCF和△ADG中，

∠AGD=∠CFD ∠ADG=∠DCF AD=DC

，
∴△DCF≌△ADG（AAS）；

（2）設正方形ABCD的邊長為2a，
∵點E是AB的中點，
∴AE=

1

2

×2a=a，
在Rt△ADE中，DE=

AD2+AE2

=

(2a)2+a2

=

5

a，
∴sin∠ADG=

AE

DE

=

a

5 a

=

5

5

，
∵∠ADG=∠DCF=α，
∴sinα=

5

5

．

點評：本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，銳角三角函數，同角的余角相等的性質，以及勾股定理的應用，熟練掌握各圖形的性質并確定出三角形全等的條件是解題的關鍵．