Question

如圖，點E在正方形ABCD的邊AB上，AE=1，BE=2．點F在邊BC的延長線上，且CF=BC；P是邊BC上的動點（與點B不重合），PQ⊥EF，垂足為O，并交邊AD于點Q；QH⊥BC，垂足為H．
（1）求證：△QPH∽△FEB；
（2）設BP=x，EQ=y，求y關于x的函數解析式，并寫出它的定義域；
（3）試探索△PEQ是否可能成為等腰三角形？如果可能，請求出x的值；如果不可能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）欲證△QPH∽△FEB，通過相似三角形的判斷證明∠F=∠PQH，∠QHP=∠B=90°即可；
（2）求y關于x的函數解析式，可以轉化到Rt△AEQ中，求出BP與AQ的關系，根據勾股定理得出；
（3）探索△PEQ是否可能成為等腰三角形，根據等腰三角形的判定分別列出函數關系式，求出x的值．

解答：證明：（1）∵PQ⊥EF，
∴∠F=90°-∠QPH，（1分）
∵QH⊥BC，
∴∠PQH=90°-∠QPH，
∴∠F=∠PQH，（1分）
∵在正方形ABCD中，∠B=90°，
∴∠QHP=∠B=90°，
∴△QPH∽△FEB．（1分）

（2）解：∵△QPH∽△FEB，
∴

PH

EB

=

QH

FB

，（1分）
又∵QH=AB=BC=CF，
∴PH=

1

2

EB=1，（1分）
∴AQ=BH=BP+PH=x+1，（1分）
在Rt△AEQ中，y=EQ=

AE2+AQ2

=

12+(x+1)2

，（1分）
∴函數解析式為y=

x2+2x+2

，其定義域為0＜x≤2．（1分）

（3）解：△PEQ可能成為等腰三角形，
∵PH=1，HQ=AB=3，
∴PQ=

10

，
∵BE=2，BP=x，
∴EP=

x2+4

（1分），
（1）當x滿足

x2+4

=

x2+2x+2

且0＜x≤2時，EP=EQ，解得x=1；（1分）
（2）當x滿足

x2+2x+2

=

10

且0＜x≤2時，EQ=PQ，解得x=2；（1分）
（3）當x滿足

x2+4

=

10

且0＜x≤2時，EP=PQ．
解方程得x=

6

，
∵

6

＞2，不合題意，舍去，（1分）
綜上所述，當x=1或x=2時，△PEQ能成為等腰三角形．

點評：解答本題要充分利用正方形的特殊性質，相似三角形的判定，等腰三角形的判定，勾股定理與函數的結合運用．