Question

【題目】證明：同弧所對的圓周角等于它所對圓心角度數的一半．

Answer 1

【答案】證明見解析.

【解析】

根據圓心的位置分三種情形分別證明即可．

證明：①如圖（1），當點O在∠BAC的一邊上時，

∵OA＝OC，

∴∠A＝∠C，

∵∠BOC＝∠A+∠C，

∴∠BAC＝∠BOC；

②如圖（2）當圓心O在∠BAC的內部時，延長BO交⊙O于點D，連接CD，則

∠D＝∠A（同弧或等弧所對的圓周角都相等），

∵OC＝OD，

∴∠D＝∠OCD，

∵∠BOC＝∠D+∠OCD（三角形的一個外角等于與它不相等的兩個內角的和），

∴∠BOC＝2∠A，

即∠BAC＝∠BOC．

③如圖（3），當圓心O在∠BAC的外部時，延長BO交⊙O于點E，連接CE，則

∠E＝∠A（同弧或等弧所對的圓周角都相等），

∵OC＝OE，

∴∠E＝∠OCE，

∵∠BOC＝∠E+∠OCE（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和），

∴∠BOC＝2∠A，

即∠BAC＝∠BOC．