Question

【題目】如圖1，在四邊形ABCD中，點E、F分別是AB、CD的中點，過點E作AB的垂線，過點F作CD的垂線，兩垂線交于點G，連接GA、GB、GC、GD、EF，若∠AGD＝∠BGC.

（1）求證：AD＝BC；

（2）求證：△AGD∽△EGF；

（3）如圖2，若AD、BC所在直線互相垂直，求的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）由線段垂直平分線的性質得出GA=GB，GD=GC，由SAS證明△AGD≌△BGC，得出對應邊相等即可；

（2）先證出∠AGB=∠DGC，由，證出△AGB∽△DGC，得出比例式，再證出∠AGD=∠EGF，即可得出△AGD∽△EGF；

（3）延長AD交GB于點M，交BC的延長線于點H，則AH⊥BH，由△AGD≌△BGC，得出∠GAD=∠GBC，再求出∠AGB=∠AHB=90°，得出∠AGE=∠AGB=45°，求出，由△AGD∽△EGF，即可得出的值。

（1）證明：GE是AB的垂直平分線，

∴GA＝GB，同理GD＝GC，

在△AGD和△BGC中，∵GA＝GB，∠AGD＝∠BGC，GD＝GC，

∴△AGD ≌△BGC，

∴AD＝BC.

（2）證明：∵∠AGD＝∠BGC，

∴∠AGB＝∠DGC，

在△AGB和△DGC中， ，∠AGB＝∠DGC.，

∴△AGB∽△DGC，

∴ ，

又∠AGE＝∠DGF，

∴∠AGD＝∠EGF，

∴△AGD∽△EGF.

（3）解：如圖①，延長AD交GB于點M，交BC的延長線于點H，則AH⊥BH，

由△AGD≌△BGC，知∠GAD＝∠GBC，

在△GAM和△HBM中，∠GAD＝∠GBC，∠GMA＝∠HMB，

∴∠AGB＝∠AHB＝90，

∴∠AGE＝∠AGB＝45，

∴ ＝，

又△AGD∽△EGF，

∴ .