Question

【題目】如圖，在中，，點(diǎn)D在BC上，，過點(diǎn)D作，垂足為E，經(jīng)過A，B，D三點(diǎn)．

求證：AB是的直徑；

判斷DE與的位置關(guān)系，并加以證明；

若的半徑為10m，，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）與圓O相切，理由見解析；（3）．

【解析】

（1）連接AD，由AB=AC，BD=CD，利用等腰三角形三線合一性質(zhì)得到AD⊥BC，利用90°的圓周角所對(duì)的弦為直徑即可得證；
（2）DE與圓O相切，理由為：連接OD，由O、D分別為AB、CB中點(diǎn)，利用中位線定理得到OD與AC平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到∠ODE為直角，再由OD為半徑，即可得證；
（3）由AB=AC，且∠BAC=60°，得到三角形ABC為等邊三角形，設(shè)AC與交于點(diǎn)F，連接BF，DE為△CBF中位線，求出BF的長(zhǎng)，即可確定出DE的長(zhǎng)．

證明：如圖

連接AD，

，，

，

，

為圓O的直徑；

與圓O相切，理由為：

證明：連接OD，

、D分別為AB、BC的中點(diǎn)，

為的中位線，

，

，

，

為圓的半徑，

與圓O相切；

解：，，

為等邊三角形，

，

設(shè)AC與交于點(diǎn)F，連接BF，

為圓O的直徑，

，

，，

為BC中點(diǎn)，

為CF中點(diǎn)，即DE為中位線，

在中，，，

根據(jù)勾股定理得：，

則．