Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，OA＝1，以OA為一邊，在第一象限作菱形OAA1B，并使∠AOB＝60°，再以對角線OA1為一邊，在如圖所示的一側作相同形狀的菱形OA1A2B1，再依次作菱形OA2A3B2，OA3A4B3，……，則過點B2018，B2019，A2019的圓的圓心坐標為_____．

Answer 1

【答案】（-（）2018，（）2019）

【解析】

過A1作A1C⊥x軸于C，由菱形的性質得到OA＝AA1＝1，∠A1AC＝∠AOB＝60°，根據勾股定理得到OA1＝，求得∠A2B1A3＝60°，解直角三角形得到B1A3＝2，A2A3＝3，求得OA3＝OB1+B1A3＝3＝（）3得到菱形OA2A3B2的邊長＝3＝（）2，設B1A3的中點為O1，連接O1A2，O1B2，推出過點B1，B2，A2的圓的圓心坐標為O1（0，2），以此類推，于是得到結論．

解：過A1作A1C⊥x軸于C，

∵四邊形OAA1B是菱形，

∴OA＝AA1＝1，∠A1AC＝∠AOB＝60°，

∴A1C＝，AC＝，

∴OC＝OA+AC＝，

在Rt△OA1C中，OA1＝，

∵∠OA2C＝∠B1A2O＝30°，∠A3A2O＝120°，

∴∠A3A2B1＝90°，

∴∠A2B1A3＝60°，

∴B1A3＝2，A2A3＝3，

∴OA3＝OB1+B1A3＝3＝（）3

∴菱形OA2A3B2的邊長＝3＝（）2，

設B1A3的中點為O1，連接O1A2，O1B2，

于是求得，O1A2＝O1B2＝O1B1＝＝（）1，

∴過點B1，B2，A2的圓的圓心坐標為O1（0，），

∵菱形OA3A4B3的邊長為3＝（）3，

∴OA4＝9＝（）4，

設B2A4的中點為O2，

連接O2A3，O2B3，

同理可得，O2A3＝O2B3＝O2B2＝3＝（）2，

∴過點B2，B3，A3的圓的圓心坐標為O2（﹣3，3），…以此類推，菱形OA2019A2020B2019的邊長為（）2019，

OA2020＝（）2020，

設B2018A2020的中點為O2018，連接O2018A2019，O2018B2019，

求得，O2018A2019＝O2018B2019＝O2018B2018＝（）2018，

∴點O2018是過點B2018，B2019，A2019的圓的圓心，

∵2018÷12＝168…2，

∴點O2018在射線OB2上，

則點O2018的坐標為（﹣（）2018，（）2019），

即過點B2018，B2019，A2019的圓的圓心坐標為：（﹣（）2018，（）2019），

故答案為：（﹣（）2018，（）2019）．