Question

【題目】如圖，在一塊直角三角板ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，將另一個含30°角的△EDF的30°角的頂點D放在AB邊上，E、F分別在AC、BC上，當點D在AB邊上移動時，DE始終與AB垂直，若△CEF與△DEF相似，則AD= ．

Answer 1

【答案】或

【解析】

試題由于∠EDF=30°，且DE總垂直于AB，因此∠FDB=60°，此時發現△FDB是等邊三角形，那么BD=BF，2﹣AD=1﹣CF，即AD=CF+1．由于∠C是直角，當△CEF與△DEF相似時，△DEF必為直角三角形，那么可分兩種情況討論：①∠DEF=90°，此時，△CEF∽△DEF；②∠DFE=90°，此時△CEF∽△FED；可根據各相似三角形得到的比例線段求出CF的值，進而可求得AD的值．

解：∵∠EDF=30°，ED⊥AB于D，

∴∠FDB=∠B=60°，

∴△BDF是等邊三角形；

∵BC=1，∴AB=2；

∵BD=BF，

∴2﹣AD=1﹣CF；

∴AD=CF+1．

①如圖1，∠FED=90°，△CEF∽△EDF，

∴=，即=，

解得，CF=；

∴AD=+1=；

②如圖2，∠EFD=90°，△CEF∽△FED，

∴=，即=；

解得，CF=；

∴AD=+1=．

故答案為或．