Question

如圖，長為2，寬為a的矩形紙片（1＜a＜2），剪去一個邊長等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；
（1）第一次操作后剩下的矩形長為a，寬為______；
（2）再把第一次操作后剩下的矩形剪去一個邊長等于此時矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復操作下去．
①求第二次操作后剩下的矩形的面積；
②若在第3次操作后，剩下的圖形恰好是正方形，求a的值．

Answer 1

（1）由圖可知，第一次操作后剩下的矩形長為：原矩形的長-原矩形的寬，即為：2-a
故答案為：2-a；

（2）①因為第二次操作后剩下的矩形的邊長分別為：2-a，2a-2，
∴面積為：（2-a）（2a-2）=-2a²+6a-4，
②當2-a＞2a-2，a＜

4

3

時，2-a=2（2a-2），
解得：a=

6

5

；
當2-a＜2a-2，a＞

4

3

時，2（2-a）=2a-2，
解得：a=

3

2

；
綜合得a=

6

5

或

3

2

．