Question

【題目】如圖，直線與x軸交于點，與y軸交于點B，拋物線經過點．

求k的值和拋物線的解析式；

為x軸上一動點，過點M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點．

若以為頂點的四邊形OBNP是平行四邊形時，求m的值．

連接BN，當時，求m的值．

Answer 1

【答案】（1），（2）①或②與

【解析】試題分析：（1）把A點坐標代入直線解析式可求得k，則可求得B點坐標，由A、B的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；

（2）①由M點坐標可表示P、N的坐標，從而可表示出PN的長，根據平行四邊形的性質得：OB=PN=2，列方程解出即可；

②有兩解，N點在AB的上方或下方，作輔助線，構建等腰直角三角形，由∠PBN=45° 得∠GBP=45°，設GH=BH=t，則由△AHG∽△AOB，得AH=t，GA=，根據AB=AH+BH=t+t=，可得BG和BN的解析式，分別與拋物線聯立方程組，可得結論．

試題解析：解：（1）把A（3，0）代入y=kx+2中得，0=3k+2，k=﹣，

∴直線AB的解析式為：y=﹣x+2，∴B（0，2），把A（3，0）和B（0，2）代入拋物線y=﹣x2+bx+c中，則，解得：，二次函數的表達式為：y=﹣；

（2）①如圖1，設M（m，0），則P（m，m+2），N（m，﹣）

∴PN=yN﹣yP=（﹣）﹣（﹣m+2）=﹣+4m，由于四邊形OBNP為平行四邊形得PN=OB=2，

∴+4m=2，解得：m=或

②有兩解，N點在AB的上方或下方，如圖2，過點B作BN的垂線交x軸于點G，過點G作BA的垂線，垂足為點H．

由∠PBN=45° 得∠GBP=45°，∴GH=BH，設GH=BH=t，則由△AHG∽△AOB，得AH=t，GA=，由AB=AH+BH=t+t=，解得t=，∴AG=×=，從而OG=OA﹣AG=3﹣=，即G（，0）

由B（0，2），G（，0）得：

直線BG：y=﹣5x+2，直線BN：y=0.2x+2．

則，解得：x1=0（舍），x2=，即m=；

則，解得：x1=0（舍），x2=；即m=；

故m= 與m=為所求．