Question

【題目】在中，，，，過點作直線，將繞點順時針得到（點，的對應點分別為，），射線，分別交直線于點，.

（1）如圖1，當與重合時，求的度數；

（2）如圖2，設與的交點為，當為的中點時，求線段的長；

（3）在旋轉過程時，當點分別在，的延長線上時，試探究四邊形的面積是否存在最小值.若存在，求出四邊形的最小面積；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）；（3）

【解析】（1）由旋轉可得：AC=A'C=2，進而得到BC=，依據∠A'BC=90°，可得cos∠A'CB=，即可得到∠A'CB=30°，∠ACA'=60°；

（2）根據M為A'B'的中點，即可得出∠A=∠A'CM，進而得到PB=BC=，依據tan∠Q=tan∠A=，即可得到BQ=BC×=2，進而得出PQ=PB+BQ=；

（3）依據S四邊形PA'B′Q=S△PCQ-S△A'CB'=S△PCQ-，即可得到S四邊形PA'B′Q最小，即S△PCQ最小，而S△PCQ=PQ×BC=PQ，得到S△PCQ的最小值=3，S四邊形PA'B′Q=3-．

（1）由旋轉可得：AC=A'C=2，

∵∠ACB=90°，AB=，AC=2，

∴BC=，

∵∠ACB=90°，m∥AC，

∴∠A'BC=90°，

∴cos∠A'CB=，

∴∠A'CB=30°，

∴∠ACA'=60°；

（2）∵M為A'B'的中點，

∴∠A'CM=∠MA'C，

由旋轉可得，∠MA'C=∠A，

∴∠A=∠A'CM，

∴tan∠PCB=tan∠A=，

∴PB=BC=，

∵tan∠Q=tan∠A=，

∴BQ=BC×=2，

∴PQ=PB+BQ=；

（3）∵S四邊形PA'B′Q=S△PCQ-S△A'CB'=S△PCQ-，

∴S四邊形PA'B′Q最小，即S△PCQ最小，

∴S△PCQ=PQ×BC=PQ，

取PQ的中點G，則∠PCQ=90°，

∴CG=PQ，即PQ=2CG，

當CG最小時，PQ最小，

∴CG⊥PQ，即CG與CB重合時，CG最小，

∴CGmin=，PQmin=2，

∴S△PCQ的最小值=3，S四邊形PA'B′Q=3-.