Question

【題目】如圖①，中，，點為邊上一點，于點，點為中點，點為中點，的延長線交于點，≌.

（1）求證：；

（2）求的大小；

（3）如圖②，過點作交的延長線于點，求證：四邊形為矩形.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠MEF＝30°；（3）證明見解析.

【解析】

（1）利用直角三角形斜邊中線的性質定理可得CM＝DB，EM＝DB，問題得證；

（2）利用全等三角形的性質，證明△DEM是等邊三角形，即可解決問題；

（3）設FM＝a，則AE＝CM＝EM＝a，EF＝2a，推出，，得到AN∥PM，易證四邊形ANMP是平行四邊形，結合∠P＝90°即可解決問題．

解：（1）證明：如圖①中，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB＝∠DCB＝90°，

∵DM＝MB，

∴CM＝DB，EM＝DB，

∴CM＝EM；

（2）解：∵△DAE≌△CEM，CM＝EM，

∴AE＝ED＝EM＝CM＝DM，∠AED＝∠CME＝90°

∴△ADE是等腰直角三角形，△DEM是等邊三角形，

∵∠AED＝∠DEF＝90°，∠DEM＝60°，

∴∠MEF＝30°；

（3）證明：如圖②中，設FM＝a．

由（2）可知△ADE是等腰直角三角形，△DEM是等邊三角形，∠MEF＝30°，

∴AE＝CM＝EM＝a，EF＝2a，

∵CN＝NM，

∴MN＝a，

∴，，

∴EM∥AN，

∵AP⊥PM，MN⊥PM，

∴AP∥MN，

∴四邊形ANMP是平行四邊形，

∵∠P＝90°，

∴四邊形ANMP是矩形．