Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，過C點的切線CE垂直于弦AD于點E，連OD交AC于點F．
（1）求證：∠BAC=∠DAC；
（2）若AF：FC=6：5，求sin∠BAC的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結OC，如圖1，

∵CD為切線，

∴OC⊥CD，

∵AD⊥CD

∴OC∥AD，

∴∠CAD=∠ACO，

∵OA=OC，

∴∠BAC=∠ACO，

∴∠BAC=∠DAC

（2）如圖2，

作OG⊥AD于G，CH⊥AB于H，連接OC，

由（1）知，OC∥AD，

∴△AFD∽△CFO，

∴

∵AF：FC=6：5，

∴

設AD=6x，OC=OD=OA=5x，則OG=CH=4x，

在Rt△OCH中，OC=5x，CH=4x，

∴OH=3x，

∴AH=OA+OH=8x；

在Rt△ACH中，AC= =4 x

Sin∠BAC= =

【解析】（1）連結OC，如圖1，先利用切線的性質得到OC⊥CD，再判斷OC∥AD得到∠CAD=∠ACO，而∠BAC=∠ACO，即可得出結論；（2）先根據OC∥AD，得出△AFD∽△CFO即可求出 然后設出AD=6x，OC=5x，再用勾股定理表示出CH，AH，進而得出AC即可求出結論；
【考點精析】根據題目的已知條件，利用切線的性質定理和解直角三角形的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑；解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)．