Question

已知：如圖，點A、B、C、D在同一條直線上，EA⊥AD，FD⊥AD，AE=DF，AB=DC．BF，CE相交于點O．
（1）求證：∠ACE=∠DBF；
（2）若點B是AC的中點，∠E=60°，AE=4，求△OBC的面積．

Answer 1

分析：（1）根據垂直的定義，以及已知條件，再根據SAS即可證明△ACE≌△DBF，根據全等三角形對應角相等即可證明∠ACE=∠DBF，
（2）根據特殊角的三角函數值得出BC，同時根據已知角得出△OBC的高，從而得出答案．

解答：（1）證明：∵AB=DC，BC=BC，
∴AC=DB，
∵EA⊥AD，FD⊥AD，
∴∠A=∠D=90°，
∵AE=DF，
∴△EAC≌△FDB（SAS），
∴∠ACE=∠DBF．

（2）過點O作OM⊥BC，垂足為M，
∵∠E=60°，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴△OBC為等腰三角形，
tan60°=

AC

AE

=

AC

4

=

3

，
∴AC=4

3

，
∵點B是AC的中點，
∴BM=

3

，
∵△OBC為等腰三角形，
∴OM既是高也是中線，
∴BC=2

3

，
在Rt△BOM中，
tan30°=

OM

BM

=

OM

3

=

3

3

，
∴OM=1，
S_△BOC=

1

2

BC•OM=

1

2

×2

3

×1=

3

．

點評：本題主要考查了三角形全等的判定方法、等腰三角形的性質、特殊角的三角函數值，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．證明角、邊相等常常運三角形全等來證明，難度適中．