Question

【題目】如圖，點A的坐標為（﹣4，0），點B的坐標為（0，﹣2），把點A繞點B順時針旋轉90°得到的點C恰好在拋物線y=ax2上，點P是拋物線y=ax2上的一個動點（不與點O重合），把點P向下平移2個單位得到動點Q，則：

（1）直接寫出AB所在直線的解析式、點C的坐標、a的值；

（2）連接OP、AQ，當OP+AQ獲得最小值時，求這個最小值及此時點P的坐標；

（3）是否存在這樣的點P，使得∠QPO=∠OBC，若不存在，請說明理由；若存在，請你直接寫出此時P點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）a=；（2）OP+AQ的最小值為2，此時點P的坐標為（﹣1，）；（3）P（﹣4，8）或（4，8），

【解析】

（1）利用待定系數法求出直線AB解析式，根據旋轉性質確定出C的坐標，代入二次函數解析式求出a的值即可；

（2）連接BQ，可得PQ與OB平行，而PQ=OB，得到四邊形PQBO為平行四邊形，當Q在線段AB上時，求出OP+AQ的最小值，并求出此時P的坐標即可；

（3）存在這樣的點P，使得∠QPO=∠OBC，如備用圖所示，延長PQ交x軸于點H，設此時點P的坐標為（m，m2），根據正切函數定義確定出m的值，即可確定出P的坐標．

（1）設直線AB解析式為y=kx+b，

把A（﹣4，0），B（0，﹣2）代入得：，

解得：，

∴直線AB的解析式為y=﹣x﹣2，

根據題意得：點C的坐標為（2，2），

把C（2，2）代入二次函數解析式得：a=；

（2）連接BQ，

則易得PQ∥OB，且PQ=OB，

∴四邊形PQBO是平行四邊形，

∴OP=BQ，

∴OP+AQ=BQ+AQ≥AB=2，（等號成立的條件是點Q在線段AB上），

∵直線AB的解析式為y=﹣x﹣2，

∴可設此時點Q的坐標為（t，﹣t﹣2），

于是，此時點P的坐標為（t，﹣t），

∵點P在拋物線y=x2上，

∴﹣t=t2，

解得：t=0或t=﹣1，

∴當t=0，點P與點O重合，不合題意，應舍去，

∴OP+AQ的最小值為2，此時點P的坐標為（﹣1，）；

（3）P（﹣4，8）或（4，8），

如備用圖所示，延長PQ交x軸于點H，

設此時點P的坐標為（m，m2），

則tan∠HPO=，

又，易得tan∠OBC=，

當tan∠HPO=tan∠OBC時，可使得∠QPO=∠OBC，

于是，得，

解得：m=±4，

所以P（﹣4，8）或（4，8）．