Question

【題目】如圖，C是⊙O上一點，點P在直徑AB的延長線上，⊙O的半徑為3，PB=2，PC=4．

（1）求證：PC是⊙O的切線．

（2）求tan∠CAB的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）連接OC、BC，根據題意可得OC2+PC2=OP2，即可證得OC⊥PC，由此可得出結論．

（2）先根據題意證明出△PBC∽△PCA，再根據相似三角形的性質得出邊的比值，由此可得出結論．

（1）如圖，連接OC、BC

∵⊙O的半徑為3，PB=2

∴OC=OB=3，OP=OB+PB=5

∵PC=4

∴OC2+PC2=OP2

∴△OCP是直角三角形，

∴OC⊥PC

∴PC是⊙O的切線．

（2）∵AB是直徑

∴∠ACB=90°

∴∠ACO+∠OCB=90°

∵OC⊥PC

∴∠BCP+∠OCB=90°

∴∠BCP=∠ACO

∵OA=OC

∴∠A=∠ACO

∴∠A=∠BCP

在△PBC和△PCA中：

∠BCP=∠A，∠P=∠P

∴△PBC∽△PCA，

∴

∴tan∠CAB=