Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，D為直線BC上一動點（不與點B，C重合），在AD的右側作△ACE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，連接CE．

（1）當D在線段上時．

①求證：．

②請判斷點D在何處時，，并說明理由．

（2）當時，若中最小角為28°，求的度數．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②D運動到BC中點時，AC⊥DE；（2）28°或32°或92°．

【解析】

（1）①根據SAS即可證明；②D運動到BC中點時，AC⊥DE；利用等腰三角形的三線合一即可證明；

（2）分三種情形分別求解即可解決問題．

（1）①∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE，

在△BAD和△CAE中，∵，

∴△BAD≌△CAE．

②D運動到BC中點時，AC⊥DE．理由如下：

如圖2，連接DE．

∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD．

∵∠BAD=∠CAE，∴∠CAD=∠CAE．

∵AD=AE，∴AC⊥DE．

（2）∠ADB的度數為28°或32°或92°．

理由：①如圖3①中，當點D在CB的延長線上時．

∵CE∥AB，∴∠BAE=∠AEC，∠BCE=∠ABC．

∵△DAB≌△EAC，∴∠ADB=∠AEC，∠ABD=∠ACE，∴∠BAC=∠BAE+EAC=∠AEC+∠EAC=180°﹣∠ACE=180°﹣∠ABD=∠ABC=∠ACB，∴△ABC是等邊三角形．

此時∠ADB或∠BAD可為最小角28°，

∴∠ADB=∠ABC﹣∠BAD=32°或∠ADB=28°．

②當點D在線段BC上時，同理可證△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE．

∵CE∥AB，∴∠BAC=∠ACE=∠ABC，∴△ABC為等邊三角形，∴∠ABD=60°，此時最小角只能是∠DAB=28°，此時∠ADB=180°﹣28°﹣60°=92°．

③當點D在BC 延長線上時，同理△BAD≌△CAE，∠BAC=∠ACE=∠ABC，

∴△ABC為等邊三角形，∠BAD=∠CAE，AD=AE．

∵∠BAC=∠DAE=60°，∴△ADE為等邊三角形．

此時△ABD中，最小角只能是∠ADB=28°．

綜上所述：滿足條件的∠ABD的值為28°或32°或92°．