Question

推理證明（本小題滿分6分）
如圖，在△ABC中，D是AB邊上一點，圓O過D、B、C三點， ÐDOC=2ÐACD=90°.

（1）求證：直線AC是圓O的切線；
（2）如果ÐACB=75°，圓O的半徑為2，求BD的長.

Answer 1

（1）見解析（2）4

（1）證明：
∵2∠ACD=90°，
∴∠ACD=45°                           
∵∠DOC=90°，且DO=CO，
∴△OCD為等腰直角三角形，∠OCD=45°  
∴∠ACO=∠ACD+∠DCO=45°+45°=90°
∴直線AC是⊙O的切線．                 
（2）解：連接BO，
∵∠ACB=75°，∠ACD=45°，
∴∠DCB=30°，∴∠DOB=60°，           
∵DO=BO，
∴△BDO為等邊三角形，                   
∴BD=OB=4．                             
（1）利用切線的判定定理求出∠ACO=∠ACD+∠DCO=45°+45°=90°，即可得出答案；
（2）利用圓周角定理得出△BDO為等邊三角形，即可得出答案．