Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，其中，.

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接，在直線上方的拋物線上有一動點，連接，與直線相交于點，當時， 求的值；

（3）點是直線上一點，在平面內是否存在點，使以點，，，為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3），，，

【解析】

（1）將，代入得出關于a，b的二元一次方程，求解即可；

（2）過點作軸的平行線，交直線與點，交軸于點，過點作軸的平行線，交直線與點，證明，得出，設，，可得出關于t的方程，解出t值，即可得出答案；

（3）分①當PC為菱形的邊時，②當PC為對角線時，兩種情況討論即可．

（1）將，代入

得，解得

解析式為；

（2）當時

設直線的解析式為，將，分別代入得：

過點作軸的平行線，交直線與點，交軸于點

過點作軸的平行線，交直線與點

當時

，

軸

設，

解得：

，

在中，；

（3）設直線BC的解析式為：y=kx+b，

將B(4，0)，C(0，3)代入得，

解得，

∴直線BC的解析式為：y=x+3，

①當PC為菱形的邊時，

∵四邊形PQCA是菱形，

∴AQ∥PC，

可設AQ的解析式為：y=x+b1，

將點A(-1，0)代入得b1=，

∴AQ的解析式為：y=x，

∴可設Q(m，m)，

根據勾股定理得AC的長為，

根據菱形的性質可得AC=AQ，

∴=，

解得m=，

∴m1=，m2=，

將m1，m2代入y=x，

可得，；

②當PC為對角線時，

根據菱形的性質可得AQ⊥PC，

∴可設AQ的解析式為：y=x+b3，

將A(-1，0)代入得b3=，

∴AQ的解析式為：y=x+，

∴可設Q(n，n+)，

根據菱形的性質可得AC=CQ，

∴=，

解得n1=-5，n2=，

將n1，n2代入y=x+，

可得，；

綜上，Q點的坐標為，，，．