Question

【題目】如圖1、2，已知四邊形ABCD為正方形，在射線AC上有一動點P，作PE⊥AD（或延長線）于E，作PF⊥DC（或延長線）于F，作射線BP交EF于G．

（1）在圖1中，設正方形ABCD的邊長為2，四邊形ABFE的面積為y，AP=x，求y關于x的函數表達式；

（2）結論：GB⊥EF對圖1，圖2都是成立的，請任選一圖形給出證明；

（3）請根據圖2證明：△FGC∽△PFB．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2；(2)證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據題意得出S四邊形ABFE=4﹣ED×DF﹣BC×FC進而得出答案；

（2）首先利用正方形的性質進而證明△FPE≌△BHP（SAS），即可得出△FPG∽△BPH，求出即可；

（3）首先得出△DPC≌△BPC（SAS），進而利用相似三角形的判定得出△FGC∽△PFB．

試題解析：（1）解：∵PE⊥AD，PF⊥DC，

∴四邊形EPFD是矩形，

∵AP=x，

∴AE=EP=DF=x，

DE=PF=FC=2﹣x，

∴S四邊形ABFE=4﹣EDDF﹣BCFC=x2+2；

（2）證明：如圖1，延長FP交AB于H，

∵PF⊥DC，PE⊥AD，

∴PF⊥PE，PH⊥HB，

即∠BHP=90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AC平分∠DAB，

∴可得PF=FC=HB，EP=PH，

在△FPE與△BHP中

，

∴△FPE≌△BHP（SAS），

∴∠PFE=∠PBH，

又∵∠FPG=∠BPH，

∴△FPG∽△BPH，

∴∠FGP=∠BHP=90°，

即GB⊥EF；

（3）證明：如圖2，連接PD，

∵GB⊥EF，

∴∠BPF=∠CFG①，

在△DPC和△BPC中

，

∴△DPC≌△BPC（SAS），

∴PD=PB，

而PD=EF，∴EF=PB，

又∵GB⊥EF，

∴PF2=FGEF，

∴PF2=FGPB，

而PF=FC，

∴PFFC=FGPB，

∴②，

∴由①②得△FGC∽△PFB．