Question

【題目】已知：在Rt△ABC中，∠C=90°.

（1）請(qǐng)?jiān)诰�段BC上作一點(diǎn)D，使點(diǎn)D到邊AC、AB的距離相等（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）在（1）的條件下，若AC=6，BC=8，請(qǐng)求出CD的長度．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）3.

【解析】

（1）根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等知作出∠A的平分線即可；

（2）設(shè)CD的長為x，然后用x表示出DB、DE、BF利用勾股定理得到有關(guān)x的方程，解之即可．

（1）如圖所示：所以點(diǎn)D為所求；

（2）過點(diǎn)D做DE⊥AB于E，設(shè)DC=x，則BD=8-x

∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8

∴由勾股定理得AB=

∵點(diǎn)D到邊AC、AB的距離相等

∴AD是∠BAC的平分線

又∵∠C=90°，DE⊥AB

∴DE=DC=x，

在Rt△ACD和Rt△AED中，

，

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），

∴AE=AC=6，

∴BE=4，

Rt△DEB中，∠DEB=90°，

∴由勾股定理得DE2+BE2=BD2，

即x2+42=（8-x）2，

解得x=3．

答：CD的長度為3．