Question

【題目】問題解決：如圖1，△ABC中，AF為BC邊上的中線，則S△ABF＝　 　S△ABC．

問題探究：

（1）如圖2，CD，BE分別是△ABC的中線，S△BOC與S四邊形ADOE相等嗎？

解：△ABC中，由問題解決的結論可得，S△BCD＝S△ABC，S△ABE＝S△ABC．

∴S△BCD＝S△ABE

∴S△BCD﹣S△BOD＝S△ABE﹣S△BOD

即S△BOC＝S四邊形ADOE．

（2）圖2中，仿照（1）的方法，試說明S△BOD＝S△COE．

（3）如圖3，CD，BE，AF分別是△ABC的中線，則S△BOC＝　 　S△ABC，S△AOE＝　 　S△ABC，S△BOD＝　 　S△ABF．

問題拓展：

（4）①如圖4，E、F分別為四邊形ABCD的邊AD、BC的中點，請直接寫出陰影部分的面積與四邊形ABCD的面積之間的數量關系：S陰影＝　 　S四邊形ABCD．

②如圖5，E、F、G、H分別為四邊形ABCD的邊AD、BC、AB、CD的中點，請直接寫出陰影部分的面積與四邊形ABCD的面積之間的數量關系：S陰影＝　 　S四邊形ABCD．

Answer 1

【答案】問題解決：；問題探究：（2）證明見解析；（3），，；問題拓展：（4）①；②.

【解析】

問題解決：根據中線的性質即可得出結論；

問題探究：（2）根據問題解決的結論可得，S△BCD＝S△ABC，S△BCE＝S△ABC，然后根據等式的基本性質即可得出S△BOD＝S△COE；

（3）根據中線的性質和探究結論（1）（2）可推出S△AOE＝S△AOD＝S△BOF＝S△COF＝S△BOD＝S△COE＝S△ABC，從而得出結論；

問題拓展：（4）①連接BD，根據中線的性質可得S△ABE＝S△BDE和S△BDF＝S△DFC，從而得出結論；②連接BD，設BE交DG于M，BH交DF于N，根據問題探究：（3）的結論，可得S△BDM＝S△ABD，S△BDN＝S△BDC，，從而得出結論．

解：問題解決：∵AF是BC邊上的中線，

∴S△ABF＝S△AFC，

∴S△ABF＝S△ABC，

故答案為．

問題探究：（2）△ABC中，由問題解決的結論可得，S△BCD＝S△ABC，S△BCE＝S△ABC．

∴S△BCD＝S△BCE

∴S△BCD﹣S△BOC＝S△BCE﹣S△BOC

∴S△BOD＝S△COE．

（3）∵CD，BE，AF分別是△ABC的中線，

∴S△BOF＝S△COF， S△BAF＝S△CAF，S△BOD＝S△AOD，

利用探究結論（1）（2）易證：S△BOC＝S四邊形ADOE， S△BOD＝S△COE

∴S△AOD＝S△BAF－S△BOD－S△BOF＝S△CAF－S△COE－S△COF＝S△AOE

∴S△BOC＝2S△BOF，S四邊形ADOE＝2S△AOD

∴S△BOF＝S△AOD

∴S△AOE＝S△AOD＝S△BOF＝S△COF＝S△BOD＝S△COE＝S△ABC，

S△BOC＝2S△BOF＝S△ABC，S△AOE＝S△ABC，S△BOD＝S△ABF．

故答案為，，．

問題拓展：（4）①如圖4中，連接BD．

∵BE是△ABD的中線，

∴S△ABE＝S△BDE，

∵DF是△BCD的中線，

∴S△BDF＝S△DFC，

∴S陰＝S四邊形ABCD，

故答案為．

②如圖5中，連接BD，設BE交DG于M，BH交DF于N．

用問題探究可知：S△BDM＝S△ABD，S△BDN＝S△BDC，

∴S陰＝（S△ABD+S△BDC）＝S四邊形ABCD，

故答案為．