Question

【題目】如圖，BD是平行四邊形ABCD的對角線，DE⊥AB于點E，過點E的直線交BC于點G，且BG＝CG．

（1）求證：GD＝EG．

（2）若BD⊥EG垂足為O，BO＝2，DO＝4，畫出圖形并求出四邊形ABCD的面積．

（3）在（2）的條件下，以O為旋轉中心順時針旋轉△GDO，得到△G′D'O，點G′落在BC上時，請直接寫出G′E的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）圖詳見解析，12；（3）．

【解析】

（1）如圖1，延長EG交DC的延長線于點H，由“AAS”可證△CGH≌△BGE，可得GE=GH，由直角三角形的性質可得DG=EG=GH；
（2）通過證明△DEO∽△DBO，可得，可求DE=，由平行線分線段成比例可求EG=，GO=EG-EO=，由勾股定理可求BG=CG=，可得DE=AD，即點A與點E重合，可畫出圖形，由面積公式可求解；
（3）如圖3，過點O作OF⊥BC，由旋轉的性質和等腰三角形的性質可得GF=G'F，由平行線分線段成比例可求GF的長，由勾股定理可求解．

證明：（1）如圖1，延長EG交DC的延長線于點H，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD，

∵AB∥CD，

∴∠H＝GEB，又∵BG＝CG，∠BGE＝∠CGH，

∴△CGH≌△BGE（AAS），

∴GE＝GH，

∵DE⊥AB，DC∥AB，

∴DC⊥DE，

∴DG＝EG＝GH；

（2）如圖1：∵DB⊥EG，

∴∠DOE＝∠DEB＝90°，且∠EDB＝∠EDO，

∴△DEO∽△DBO，

∴，

∴DE×DE＝4×（2+4）＝24，

∴DE＝

∴EO＝，

∵AB∥CD，

∴，

∴HO＝2EO＝，

∴EH＝，且EG＝GH，

∴EG＝，GO＝EG﹣EO＝，

∴GB＝，

∴BC＝＝AD，

∴AD＝DE，

∴點E與點A重合，

如圖2：

∵S四邊形ABCD＝2S△ABD，

∴S四邊形ABCD＝2××BD×AO＝6×2＝12；

（3）如圖3，過點O作OF⊥BC，

∵旋轉△GDO，得到△G′D'O，

∴OG＝OG'，且OF⊥BC，

∴GF＝G'F，

∵OF∥AB，

∴，

∴GF＝BG＝，

∴GG'＝2GF＝，

∴BG'＝BG﹣GG'＝，

∵AB2＝AO2+BO2＝12，

∵EG'＝AG'＝.