Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．動點M從點B出發，在BA邊上以每秒3cm的速度向定點A運動，同時動點N從點C出發，在CB邊上以每秒2cm的速度向點B運動，運動時間為t秒（0＜t＜），連接MN．

（1）若△BMN與△ABC相似，求t的值；

（2）連接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）△BMN與△ABC相似時，t的值為或；（2）t=

【解析】試題分析：（1）由題意得出BM，CN， BN，BA，分兩種情況討論：①當△BMN∽△BAC時，利用相似三角形的性質得，解出t；②當△BMN∽△BCA時， ，解出t；

（2）過點M作MD⊥CB于點D，得到DM，BD，由BM=3tcm，CN=2tcm，得到CD，利用三角形相似的判定定理得△CAN∽△DCM，由三角形相似的性質得，解出t．

試題解析：（1）由題意知，BM=3tcm，CN=2tcm，∴BN=（8﹣2t）cm，BA==10（cm），當△BMN∽△BAC時， ，∴，解得：t=；

當△BMN∽△BCA時， ，∴，解得：t=，

∴△BMN與△ABC相似時，t的值為或；

（2）過點M作MD⊥CB于點D，由題意得：DM=BMsinB== （cm），BD=BMcosB== （cm），BM=3tcm，CN=2tcm，∴CD=（）cm，∵AN⊥CM，∠ACB=90°，∴∠CAN+∠ACM=90°，∠MCD+∠ACM=90°，∴∠CAN=∠MCD，∵MD⊥CB，∴∠MDC=∠ACB=90°，∴△CAN∽△DCM，∴，∴，解得t=．