Question

如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，⊙O的直徑BD交AC于點E，AF⊥BD與點F，延長AF交BC于點G.求證：AB²=BG·BC

Answer 1

見解析.

試題分析：因為直徑所對的圓周角是直角，所以作輔助線：連接AD；利用同角的余角相等，可得∠BAG=∠D，又由同弧所對的圓周角相等，可得∠C=∠D，證得∠C=∠BAG，又因為∠ABG是公共角，即可證得△ABG∽△CBA；由相似三角形的對應邊成比例，即可證得AB²=BG•BC．
試題解析：
證明：延長AF交圓于H

∵BD直徑，AF⊥BD于點F
∴=
∴∠1=∠C
又∠ABG=∠ABC，
∴△ABG∽△CBA
∴
∴AB²=BG·BC．