Question

如圖，點C在以AB為直徑的半圓O上，以點A為旋轉中心，以∠β（0°＜β＜90°）為旋轉角度將B旋轉到點D，過點D作DE⊥AB于點E，交AC于點F，過點C作圓O的切線交DE于點G。

（1）求證：∠GCA=∠OCB；
（2）設∠ABC=m°，求∠DFC的值；
（3）當G為DF的中點時，請探究∠β與∠ABC的關系，并說明理由。

Answer 1

(1)證明見解析；（2）m°；（3）∠β=180°-2∠ABC．理由見解析.

試題分析：（1）由AB為⊙O的直角，根據圓周角定理得到∠ACB=90°，即∠1+∠3=90°，再根據切線的性質得OC⊥CG，則∠3+∠GCA=90°，然后利用等量代換即可得到∠1=∠GCA；
（2）由DE⊥AB得到∠AEF=90°，再根據等角的余角相等可得到∴∠AFE=∠ABC=m°，然后利用對頂角相等有∠DFC=∠AFE=m°；
（3）由∠GCA=∠1，∠DFC=∠ABC易得∠GCF=∠GFC，根據等腰三角形的判定得到GF=GC，由GD=GF得到GD=GC，則∠2=∠4，利用三角形內角和得∠2+∠GCF=×180°=90°，即∠DCF=90°，而∠ACB=90°，于是得到點B、C、D共線，然后根據旋轉的性質得到△ABC以AB為腰的等腰三角形，且頂角∠BAC=β，則根據三角形內角和定理易得β=180°-2∠ABC．
試題解析：（1）證明：如圖：

∵AB為⊙O的直角，
∴∠ACB=90°，即∠1+∠3=90°，
∵GC為⊙O的切線，
∴OC⊥CG，
∴∠OCG=90°，即∠3+∠GCA=90°，
∴∠1=∠GCA，
即∠GCA=∠OCB；
（2）∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，
∵DE⊥AB，
∴∠AEF=90°，
∴∠AFE+∠EAF=90°，
∴∠AFE=∠ABC=m°，
∴∠DFC=∠AFE=m°；
（3）∠β=180°-2∠ABC．理由如下：
∵∠GCA=∠1，∠DFC=∠ABC，
而∠1=∠ABC，
∴∠GCF=∠GFC，
∴GF=GC，
∵G為DF的中點，
∴GD=GF，
∴GD=GC，
∴∠2=∠4，
∴∠2+∠GCF= ×180°=90°，即∠DCF=90°，
而∠ACB=90°，
∴點B、C、D共線，
∵以點A為旋轉中心，以∠β（0°＜β＜90°）為旋轉角度將B旋轉到點D，
∴AD=AB，∠BAD=β，
∴∠ABD=∠ADB，
∴β+2∠ABC=180°，
即β=180°-2∠ABC．
考點: 圓的綜合題．