Question

【題目】已知如圖1，四邊形是正方形，分別在邊、上，且，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉是一種常用的方法．

（1）在圖l中，連接，為了證明結論“”，小亮將繞點順時針旋轉后解答了這個問題，請按小亮的思路寫出證明過程；

（2）如圖2，當繞點旋轉到圖2位置時，試探究與、之間有怎樣的數量關系？

（3）如圖3，如果四邊形中，，，，且，，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），見解析；（3）的長為5．

【解析】

（1）利用旋轉的性質和正方形的性質，證明即可求證；

（2）在上取一點，使，先證明，再證明，即可得出答案；

（3）在上取一點，使，先證明，再證明，得到EF=FG，設，用含x的代數式表達GC和EF，根據勾股定理列出方程，解出x的值即可．

（1）證明：∵，

∴，，

∵∠EAF=45°，

∴∠DAF+∠BAE=45°，即∠GAB+∠BAE=45°，

∴∠GAE=∠EAF，

∴在△GAE和△FAE中，

∴，

∴，

∴，

∴；

（2）解：在上取一點，使，

，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠ADG=∠ABE=90°，

又∵DG=BE，

∴，

∴，，

∵∠EAF=∠BAE+∠BAF=45°，

∴∠GAD+∠BAF=45°，

∴∠GAF=45°，即∠EAF=∠GAF，

∴，

∴，

即；

（3）解：在上取一點，使，

∵，

∴∠D+∠ABC=180°，

∵∠ABE+∠ABC=180°，

∴∠D=∠ABE，

又∵AB=AD，DG=BE，

∴，

∴，，

∵∠EAF=∠BAE+∠BAF=45°，

∴∠GAD+∠BAF=45°，

∴∠GAF=45°，即∠EAF=∠GAF，

∴，

∴EF=FG

設

∴，

∴

在中，

∴，

解得：，

答：的長為5．