Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為x=1，且拋物線經過A（﹣1，0）、C（0，﹣3）兩點，與x軸交于另一點B．

（1）求這條拋物線所對應的函數關系式；

（2）在拋物線的對稱軸x=1上求一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，并求出此時點M的坐標；

（3）設點P為拋物線的對稱軸x=1上的一動點，求使∠PCB=90°的點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2－2x－3．（2）M（1，－2）．（3 P（1，－4）．

【解析】

（1）根據拋物線的對稱軸可求出B點的坐標，進而可用待定系數法求出拋物線的解析式；

（2）由于A、B關于拋物線的對稱軸直線對稱，若連接BC，那么BC與直線x=1的交點即為所求的點M；可先求出直線BC的解析式，聯立拋物線對稱軸方程即可求得M點的坐標；

（3）若∠PCB=90°，根據△BCO為等腰直角三角形，可推出△CDP為等腰直角三角形，根據線段長度求P點坐標．

（1）∵拋物線的對稱軸為x=1，且A（﹣1，0），∴B（3，0）；

可設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣3），由于拋物線經過C（0，﹣3），則有：a（0+1）（0﹣3）=﹣3，a=1，∴y=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3；

（2）由于A、B關于拋物線的對稱軸直線x=1對稱，那么M點為直線BC與x=1的交點；

由于直線BC經過C（0，﹣3），可設其解析式為y=kx﹣3，則有：3k﹣3=0，k=1；

∴直線BC的解析式為y=x﹣3；

當x=1時，y=x﹣3=﹣2，即M（1，﹣2）；

（3）設經過C點且與直線BC垂直的直線為直線l，作PD⊥y軸，垂足為D；

∵OB=OC=3，∴CD=DP=1，OD=OC+CD=4，∴P（1，﹣4）．