Question

【題目】如圖，矩形AOBC，A（0，3）、B（6，0），點E在OB上，∠AEO=30°，點P從點Q（﹣4，0）出發，沿x軸向右以每秒1個單位長的速度運動，運動時間為t秒．

（1）求點E的坐標；

（2）當△PAE是等腰三角形時，求t的值；

（3）以點P為圓心，PA為半徑的⊙P隨點P的運動而變化，當⊙P與四邊形AEBC的邊（或邊所在的直線）相切時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）點E的坐標為（，0）；（2）當△PAE是等腰三角形時，t的值為（3﹣2）s或（3）s或（4+）s；（3），當⊙P與四邊形AEBC的邊（或邊所在的直線）相切時，t的值為（4﹣）秒或4秒或秒．

【解析】

（1）由A，B的坐標及∠AEO=30°可得OE=，即可求出點E的坐標；

（2）分三種情形①當EA=EP時，EP1=EA=EP2=6，求出t．②當PA=PE時，設P3E=P3E=x，在Rt△AOP3中，32+（-x）2=x2，x=2，求出t即可．③當AE=AP時，點P在點Q左邊，不符合題意．

（3）本小題分三種情況討論：①當PA⊥AE時，⊙P與AE相切；②當PA⊥AC時，⊙P與AC相切；③當PB⊥BC時，⊙P與BC相切；分別求出各種情況的t的值．

（1）∵A（0，3），B（6，0），

∴OA=3，OB=6，

∵∠AEO=30°，

∴OE=OA=3，

∴點E的坐標為（3，0）．

（2）如圖1中，

當EA=EP時，EP1=EA=EP2=6，此時t=3﹣2或3+10，

當PA=PE時，設P3E=P3E=x，在Rt△AOP3中，32+（3﹣x）2=x2，

∴x=2，此時t=4+

當AE=AP時，點P在點Q左邊，不符合題意．

綜上所述，當△PAE是等腰三角形時，t的值為（3﹣2）s或（3）s或（4+）s．

（3）由題意知，若⊙P與四邊形AEBC的邊相切，有以下三種情況：

①如圖2中，當PA⊥AE時，⊙P與AE相切，

∵∠AEO=30°，AO=3，

∴∠APO=60°，

∴OP=，

∴QP=QO﹣PO=4﹣，

∵點P從點Q（﹣4，0）出發，沿x軸向右以每秒1個單位的速度運動，

∴t=4﹣（秒）．

②如圖3中，當PA⊥AC時，⊙P與AC相切，

∵QO=4，點P從點Q（﹣4，0）出發，沿x軸向右以每秒1個單位的速度運動，

∴t=4（秒），

③如圖4中，當⊙P與BC相切時，

由題意，PA2=PB2=（10﹣t）2，PO2=（t﹣4）2．

于是（10﹣t）2=（t﹣4）2+32．

解得t=（秒），

綜上所述，當⊙P與四邊形AEBC的邊（或邊所在的直線）相切時，t的值為（4﹣）秒或4秒或秒．