Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知拋物線經過A(﹣2，0)，B(0，﹣2)，C(1，0)三點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點M為第三象限內拋物線上一動點，點M的橫坐標為m，△AMB的面積為S，求S關于m的函數關系式，并求出S的最大值；

（3）若點P是拋物線上的動點，點Q是直線y＝﹣x上的動點，判斷有幾個位置能夠使得點P、Q、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，直接寫出相應的點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+x﹣2；（2）S＝﹣m2﹣2m（﹣2＜m＜0），S的最大值為1；（3）點Q坐標為：(﹣2，2)或(﹣1+，1﹣)或(﹣1﹣，1+)或(2，﹣2)．

【解析】

（1）設此拋物線的函數解析式為：y＝ax2+bx+c，將A，B，C三點代入y＝ax2+bx+c，列方程組求出a、b、c的值即可得答案；

（2）如圖1，過點M作y軸的平行線交AB于點D，M點的橫坐標為m，且點M在第三象限的拋物線上，設M點的坐標為（m，m2+m﹣2），﹣2＜m＜0，由A、B坐標可求出直線AB的解析式為y＝﹣x﹣2，則點D的坐標為（m，﹣m﹣2），即可求出MD的長度，進一步求出△MAB的面積S關于m的函數關系式，根據二次函數的性質即可求出其最大值；

（3）設P（x，x2+x﹣2），分情況討論，①當OB為邊時，根據平行四邊形的性質知PQ∥OB，且PQ＝OB，則Q（x，﹣x），可列出關于x的方程，即可求出點Q的坐標；②當BO為對角線時，OQ∥BP，A與P應該重合，OP＝2，四邊形PBQO為平行四邊形，則BQ＝OP＝2，Q橫坐標為2，即可寫出點Q的坐標．

（1）設此拋物線的函數解析式為：y＝ax2+bx+c，

將A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0）三點代入，得，

解得：，

∴此函數解析式為：y＝x2+x﹣2．

（2）如圖，過點M作y軸的平行線交AB于點D，

∵M點的橫坐標為m，且點M在第三象限的拋物線上，

∴設M點的坐標為（m，m2+m﹣2），﹣2＜m＜0，

設直線AB的解析式為y＝kx﹣2，

把A（﹣2，0）代入得，-2k-2=0，

解得：k＝﹣1，

∴直線AB的解析式為y＝﹣x﹣2，

∵MD∥y軸，

∴點D的坐標為（m，﹣m﹣2），

∴MD＝﹣m﹣2﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣2m，

∴S△MAB＝S△MDA+S△MDB

＝MDOA

＝×2（m2﹣2m）

＝﹣m2﹣2m

＝﹣（m+1）2+1，

∵﹣2＜m＜0，

∴當m＝﹣1時，S△MAB有最大值1，

綜上所述，S關于m的函數關系式是S＝﹣m2﹣2m（﹣2＜m＜0），S的最大值為1．

（3）設P（x，x2+x﹣2），

①如圖，當OB為邊時，根據平行四邊形的性質知PQ∥OB，且PQ＝OB，

∴Q的橫坐標等于P的橫坐標，

∵直線的解析式為y＝﹣x，

則Q（x，﹣x），

由PQ＝OB，得|﹣x﹣（x2+x﹣2）|＝2，

即|﹣x2﹣2x+2|＝2，

當﹣x2﹣2x+2＝2時，x1＝0（不合題意，舍去），x2＝﹣2，

∴Q（﹣2，2），

當﹣x2﹣2x+2＝﹣2時，x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，

∴Q（﹣1+，1﹣）或（﹣1﹣，1+），

②如圖，當BO為對角線時，OQ∥BP，

∵直線AB的解析式為y=-x-2，直線OQ的解析式為y=-x，

∴A與P重合，OP＝2，四邊形PBQO為平行四邊形，

∴BQ＝OP＝2，點Q的橫坐標為2，

把x=2代入y＝﹣x得y=-2，

∴Q（2，﹣2），

綜上所述，點Q的坐標為（﹣2，2）或（﹣1+，1﹣）或（﹣1﹣，1+）或（2，﹣2）．