Question

【題目】如圖，已知Rt△ABO，點B在軸上，∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=，反比例函數的圖象經過OA的中點C，交AB于點D.

（1）求反比例函數的表達式；

（2）求△OCD的面積；

（3）點P是軸上的一個動點，請直接寫出使△OCP為直角三角形的點P坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）面積為；（3）P（2，0）或（4，0）

【解析】

（1）解直角三角形求得AB，作CE⊥OB于E，根據平行線分線段成比例定理和三角形中位線的性質求得C的坐標，然后根據待定系數法即可求得反比例函數的解析式；

（2）補形法，求出各點坐標，S△OCD =S△AOB-S△ACD- S△OBD；

（3）分兩種情形：①∠OPC=90°．②∠OCP=90°，分別求解即可．

解：（1）∵∠ABO=90°，∠AOB=30°，OB=，

∴AB= OB=2，

作CE⊥OB于E，
∵∠ABO=90°，
∴CE∥AB，
∴OC=AC，
∴OE=BE=OB=，CE=AB=1，

∴C（，1），

∵反比例函數（x＞0）的圖象經過OA的中點C，

∴1=，∴k=，

∴反比例函數的關系式為；

（2）∵OB=，

∴D的橫坐標為，

代入得，y=，

∴D（，），

∴BD=，

∵AB=，

∴AD=，

∴S△OCD =S△AOB-S△ACD- S△OBD =OBAB-ADBE-BDOB=

（3）當∠OPC=90°時，點P的橫坐標與點C的橫坐標相等，C（2，2），
∴P（2，0）．
當∠OCP=90°時．
∵C（2，2），
∴∠COB=45°．
∴△OCP為等腰直角三角形．
∴P（4，0）．
綜上所述，點P的坐標為（2，0）或（4，0）．