Question

【題目】如圖（1），某數學活動小組經探究發現：在⊙O中，直徑AB與弦CD相交于點P,此時PA· PB=PC·PD

（1）如圖（2），若AB與CD相交于圓外一點P, 上面的結論是否成立？請說明理由．

（2）如圖（3）,將PD繞點P逆時針旋轉至與⊙O相切于點C, 直接寫出PA、PB、PC之間的數量關系．

（3）如圖（3），直接利用（2）的結論，求當 PC= ,PA=1時,陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）成立，理由見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）連接AD、BC，得到∠D=∠B，可證△PAD∽△PCB，即可求解；

（2）根據（1）中的結論即可求解；

（3）連接OC，根據 ,PC= ,PA=1求出PB=3 , AO=CO=1，PO=2 利用,得到AOC為等邊三角形，再分別求出，即可求解.

解：（1）成立

理由如下：如圖，連接AD、BC

則∠D=∠B

∵∠P=∠P

∴△PAD∽△PCB

∴=

∴PA· PB=PC·PD

(2)當PD與⊙O相切于點C時，

PC=PD，

由（1）得PA· PB=PC·PD

∴

(3)如圖，連接OC

,PC= ,PA=1

PB=3 , AO=CO=1，PO=2

PC與 ⊙O相切于點C

PCO為直角三角形

,

AOC為等邊三角形

=

==

=