Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點M的坐標是（5，4），⊙M與y軸相切于點C，與x軸相交于A、B兩點．

（1）則點A、B、C的坐標分別是A（__，__），B（__，__），C（__，__）；

（2）設經過A、B兩點的拋物線解析式為，它的頂點為F，求證：直線FA與⊙M相切；

（3）在拋物線的對稱軸上，是否存在點P，且點P在x軸的上方，使△PBC是等腰三角形．如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（2，0），B（8，0），C（0，4）；（2）證明見試題解析；（3）P（5，4），或（5，），或（5，）．

【解析】

（1）連接MC，則MC垂直于y軸，MA=MC=5，MD=4，由勾股定理可計算AD和DB；

（2）把A、或B或C的坐標代入y=，確定二次函數表達式y=，連接MA，根據勾股定理計算AF，由勾股定理逆定理判斷MA⊥AF，從而說明FA是切線；

（3）設P（x，4），當C為頂點時，在Rt△CMP1中用x表示CP1，根據列方程求解；當B為頂點時，在Rt△BDP2中用x表示CP2，根據列方程求解；當P是頂點時，易知P和M重合．

解：（1）連接MC，則MC垂直于y軸，MA=MC=5，MD=4，在Rt△AMD中，AD==3，同理在Rt△BMD中，BD=3

∴A（2，0），B（8，0），C（0，4）；

（2）把A（2，0）y=，解得k=-

∴y=，∴F（5，-）

連接MA，則MF=4+=，AF==

∴

∴MA⊥AF

∴FA與⊙M相切；

（3）設P（x，4），

當C為頂點時，在Rt△CMP1中，

∴，x=

點P在x軸上方，故x=，所以（，4）；

當B為頂點時，在Rt△BDP2中，

∴，x=，點P在x軸上方

故x=，所以（，4）；

當P是頂點時，P和M重合，P3（5，4）．

綜上當P（，4）、（，4）或（5，4）時△PBC是等腰三角形．