Question

【題目】如圖所示，在三角形ABC中，點O是AC邊上的一個動點，過點O做直線MN平行于BC，設MN∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F．

（1）試說明：EO=FO；
（2）當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵FC平分∠ACD，

∴∠ACF=∠DCF，

∵MN∥BD，

∴∠OFC=∠DCF，

∴∠OFC=∠ACF，

∴OF=OC，

同理OE=OC，

∴OE=OF

（2）當O為AC中點時，四邊形AECF是矩形，

證明：∵O為AC中點，

∴OA=OC，

∵OE=OF，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

∵CF平分∠ACD，CE平分∠ACB，

∴∠ACF=∠DCF= ∠ACD，∠ACE=∠BCE= ∠ACB，

∴∠FCE=∠ACF+∠ACE= ∠ACD+ ∠ACB= ×180°=90°，

∴平行四邊形AECF是矩形

【解析】（1）根據平行線得出∠OFC=∠DCF，根據角平分線定義得出∠ACF=∠DCF，推出∠OFC=∠ACF，推出OF=OC，同理得出OE=OC，即可得出答案；（2）根據平行四邊形判定得出四邊形是平行四邊形，求出∠FCE=90°，根據矩形判定推出即可．
【考點精析】通過靈活運用三角形的外角和矩形的判定方法，掌握三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫三角形的外角；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角；有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形；有三個角是直角的四邊形是矩形；兩條對角線相等的平行四邊形是矩形即可以解答此題．