Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，順次連接四邊形ABCD各邊中點，得到四邊形A1B1C1D1 ， 再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊中點，得到四邊形A2B2C2D2 ， …，如此進行下去，得到四邊形AnBnCnDn ． 下列結論正確的有（ ）
①四邊形A2B2C2D2是矩形；
②四邊形A4B4C4D4是菱形；
③四邊形A5B5C5D5的周長是 ，
④四邊形AnBnCnDn的面積是 ．

A.①②③
B.②③④
C.①②
D.②③

Answer 1

【答案】B
【解析】解：①連接A1C1 ， B1D1 ． ∵在四邊形ABCD中，順次連接四邊形ABCD 各邊中點，得到四邊形A1B1C1D1 ，
∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC；
∴A1D1∥B1C1 ， A1B1∥C1D1 ，
∴四邊形A1B1C1D1是平行四邊形；
∵AC丄BD，∴四邊形A1B1C1D1是矩形，
∴B1D1=A1C1（矩形的兩條對角線相等）；
∴A2D2=C2D2=C2B2=B2A2（中位線定理），
∴四邊形A2B2C2D2是菱形；
故本選項錯誤；②由①知，四邊形A2B2C2D2是菱形；
∴根據中位線定理知，四邊形A4B4C4D4是菱形；
故本選項正確；③根據中位線的性質易知，A5B5= A3B3= A1B1= AC，B5C5= B3C3= B1C1= BD，
∴四邊形A5B5C5D5的周長是2× （a+b）= ，
故本選項正確；④∵四邊形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，
∴S四邊形ABCD=ab÷2；
由三角形的中位線的性質可以推知，每得到一次四邊形，它的面積變為原來的一半，
四邊形AnBnCnDn的面積是 ，
故本選項正確；
綜上所述，②③④正確．
故選：B．